Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Lào Cai (Có đáp án)

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán - THPT Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình    

2 17 3 5 3 14 4 0

2 2 5 3 3 2 11 6 13

x x y y

x y x y x x

                

,   ,x y .

b) Cho , , a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 4 4 a bc b ca c ab P a b c b c c a a b             .

Câu 2. (4,0 điểm).

a) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm      2018 2 2 1 3 2 3

x x f x x e e x x            

. Tìm tất cả các

giá trị thực của m để hàm số   2 8 f x x m   có đúng 3 điểm cực trị sao cho

2 2 2 1 2 3 50 x x x    , trong đó 1 2 3 , , x x x là hoành độ của ba cực trị đó.

b) Cho dãy số   n u xác định như sau:

1 2

1 2 1

1 , 3 2 . 1, 1 n n n n n

u u

u u u n u u

  

         

.

Chứng minh rằng   n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (3,0 điểm). a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , có

2 2 CD AD AB   . Gọi   2;4 M là điểm thuộc cạnh AB sao cho 3 AB AM  . Điểm N thuộc

cạnh BC sao cho tam giác DMN cân tại M . Phương trình đường thẳng MN là 2 8 0 x y    .

Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D thuộc đường thẳng : 0 d x y   và điểm A

thuộc đường thẳng :3 8 0 d x y    

b) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a . Biết hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng   ABCD là điểm M thỏa mãn 3 AD MD  . Trên cạnh CD lấy các điểm

,I N sao cho ABM MBI  và MN vuông góc với BI . Biết góc giữa SC và   ABCD bằng

60. Tính thể tích khối chóp .S AMCB và khoảng cách từ N đến mặt phẳng   SBC .

Câu 4. (3,0 điểm).Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình

2 15 2 x z y   .

Câu 5. (3,0 điểm).Tính tổng

2 2 2 2 1 2 2018 2019 2019 2019 2019 2019 1 2 2018 2019 ... 2019 2018 2 1 S C C C C .

Hết

DeThi.edu.vn

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. a) Giải hệ phương trình    

2 17 3 5 3 14 4 0

2 2 5 3 3 2 11 6 13

x x y y

x y x y x x

                

,   ,x y .

b) Cho , , a b c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2 4 4 a bc b ca c ab P a b c b c c a a b             .

Lời giải

a) Điều kiện:

5 0 4 0 2 5 0 3 2 11 0

x y x y x y

              

.

Đặt 5 0 x a    ; 4 0 y b    ,

phương trình     17 3 5 3 14 4 0 x x y y       trởthành:

    2 2 17 3 5 . 3 4 14 0 a a b                   2 2 3 2 . 3 2 . a a b b    

3 3 3 2 3 2 a a b b     (*).

Xét hàm số  3 3 2 y f t t t    trên   0;.

Ta có  2 3 2 0 f t t     ,   0; t  nên hàm số  y f t  đồng biến trên   0;.

Vì thế với 0 a  , 0 b  thì 3 3 3 2 3 2 a a b b      f a f b   a b   .

Suy ra 5 4 x y    5 4 x y     1 y x   .

Thay 1 y x   vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình:

2 2 3 4 3 5 9 6 13 x x x x       .

Điều kiện: 4;5 3 x       

.

Khi đó, phương trình    2 2 3 4 2 3 5 9 6 6 5 x x x x         

       4 3 4 4 9 5 9 36 1 5 2 3 4 2 3 5 9 6

x x x x x x

                    6 1 15 1 1 5 3 4 1 5 9 2

x x x x x x

          

1 0 6 15 5 3 4 1 5 9 2

x

x x x

            

 

1 6 15 5 ** 3 4 1 5 9 2

x

x x x

            

.

Phương trình (**) tương đương với 6 15 5 3 4 1 5 9 2 x x x       

.

Đặt  6 15 3 4 1 5 9 2 g x x x x       

, 4;5 3 x       

.

DeThi.edu.vn