Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Vòng I - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: Toán - Vòng I

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)

SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2.5 điểm):

Giải phương trình: .

Câu 2 (2.5 điểm):

Cho dãy số xác định bởi công thức:

Tính: ?

Câu 3 (1.5 điểm):

Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:

.

Câu 4 (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân đường phân giác góc

. Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng AB, AM lần lượt tại P,

Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN tại O. Chứng minh OQ

vuông BC.

Câu 5 (1.5 điểm):

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

.

4n 2n * 2012 2012 (n ) x x    ¥

n (u )

1

* 1 2

3

1 3 2 ; ( ). 3 n n

n

u

u u n u 

              

¥

lim n u

2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9 x y z x y y z z x      

·BAC

2 3 x y z   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013

Môn thi: Toán - Vòng I

(Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)

HƯỚNG DẪN CHẤM

(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)

yêu cầu chung

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải

sau có liên quan.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là

0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng

bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.

Câu Nội dung Điểm

1

Phương trình:

Đặt t = x2n 0, phương trình (1) trở thành:

Giải phương trình (2) ta được: thỏa mãn điều kiện

2,5 điểm

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

4n 2n x x 2012 2012 (n N*) (1)    



2

2

2 2

2

t t 2012 2012 1 1 t t t 2012 t 2012 4 4

1 1 t t 2012 2 2

t 1 t 2012

t t 2011 0. (2)

  

     

                

 

  

1 8045 t 2  

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Phương trình có 2 nghiệm:

và , .

0,5

2

Theo công thức xác định dãy , ta có .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

.

Do đó: .

Mặt khác: .

Vậy là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn.

Giả sử, .Ta có: .

Vậy:

2,5 điểm

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3

.

Ta có: .

Do đó:

1.5 điểm

0,25

0,25

2n 1

1 8045 x 2   2n 2

1 8045 x 2   n * ¥

( ) n u * 0; n u n  ¥

2 * 3 3 1 2 2 2 1 3 1 3 3 2 . 3 ; 3 3 n n n n n n n n u u u u u n u u u 

                   

¥

* 3 3 ; n u n  ¥

3

1 2 2 2 2 1 1 3 1 3 0 3 3 3

n n n n n n n n n

u u u u u u u u u 

                    

( ) n u

lim n u a  3 2 2 2 1 3 3 3 a a a a a a      

3 lim 3 n u 

2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9 x y z x y y z z x      

2 2 2 2 2 2 1 1 1 (9 ) 36 x y y z z x x y z             

     

3 2 z + zx z z x 3 xy y xy xy y z        

DeThi.edu.vn