Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng B - Vòng I - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM

2012-VÒNG 1

LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B

-------------- Ngày thi:23/10/2012

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: ,với

b) Giải phương trình: ,với

Câu 2: (5,0 điểm)

a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên

đường thẳng có phương trình: . Đường cao kẻ từ B có phương trình:

, điểm thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam

giác ABC.

b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng

nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh rằng:

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho dãy số(un) xác định như sau :

a) Chứng minh:

b) Tính:

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:

a)

b)

2 2 2 2 2

1 3

x y x y

x y x y

     

     

,x y¡

  4 2 2 1 3 1 3 3 x x x x      x¡

Oxy

2 2 0 x y   

1 0 x y     1;1 M

     2 2 2 2 AC BD AB CD AD BC

1

1

2

2 1 ( 1, ) 1 ( 2 1)

n n

n

u

u u n n u 

            

¥

tan 2 1 8   

2015 u

2 2 2 a b c a b c     

1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a         

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với x,y .

…….HẾT……..

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………

Chữ ký giám thị 1:…………………….Chữ ký giám thị 2:………………….

2

3 2

2 ( 2) 2 3 ( ) 3

x y m

x y xy m y

        

¡

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM 2012-VÒNG 1

LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B

-------------- Ngày thi:23/10/2012

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1a

(3,0 điểm) Giải hệ phương trình: Điểm

Giải hệ phương trình:

0,25

Điều kiện:

Đặt: ĐK: ta có hệ:

0,25

0,5

0,5

Thế (1) vào (2) ta có:

. 0,5

Kết hợp (1) ta có:

0,5

(vì u>v).

0,25

Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25

Câu 1b Giải phương trình: (1)

2 2 2 2 2

1 3

x y x y

x y x y

     

     

2 2 2 2 2

1 3

x y x y

x y x y

     

     

x+y 0, x-y 0  

u x y v x y      

0, 0 u v  

2 2 2 2 2 ( ) 2 4

2 2 3 3 2 2

u v u v u v uv

u v u v uv uv

                        

2 2 4 (1)

( ) 2 2 3 (2) 2

u v uv

u v uv uv

           

2 8 9 3 8 9 (3 ) 0 uv           

0

4

uv

u v

    

4 0

0 4

u v

u v

             

4

0

u

v

   

  2 2 2 ( 1) 1 3 1 3 3 x x x x    

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

(3,0 điểm)

Từ pt ta thấy

(1)

0,5

Đặt:

0,5

Pt trở thành: 0,5

1,0

0,5

Câu 2a

(2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm

trên đường thẳng có phương trình . Đường cao kẻ từ B có phương

trình , điểm thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ

các đỉnh của tam giác ABC

Toạ độ B là nghiệm của hệ

Suy ra

0,25

Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC 0,25

Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ

Suy ra

0,25

Gọi I là trung điểm MN . 0,25

Gọi E là trung điểm BC. Do tam giác ABC cân nên IE là đường trung trực BC, IE đi

qua I vuông góc với BC . 0,5

0 x

2

2 1 1 1 3 3 3 x x x x           

1 , 2 t x t x   

  2 1 3 3 t t  

2

3 2 9 14 0

t t t t

        

1 2 1 x x x    

Oxy

2 2 0 x y   

1 0 x y     1;1 M

1 0 2 2 0 x y x y        

  3; 4 B 

: 2 3 0 d x y    

2 3 0 1 0 x y x y        

  4; 5 N 

5 ; 2 2 I        

13 : 2 0 2 IE x y    

I

B …