Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Vòng 2 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN THI : TOÁN - Vòng 2

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm)

a) Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó

cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.

b) Giải bất phương trình:

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình:

b) Giải phương trình:

Câu 3 (2 điểm)

a) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại

A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất

của diện tích tam giác OAB.

b) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm

. Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn

thẳng MN.

Câu 4 (3 điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

.

b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (trong đó AB=c; AC=b; đường cao

qua A là ).

Câu 5 (1 điểm)

2 2 3 y x mx m    2 3 y x  

2 8 12 10 2 x x x     

3 3 3 3 (4 3) 2 x x x    

2 2 11 23 4 1 x x x    

Oxy (1;4) M

Oxy 2 2 ( 2) ( 3) 9 x y    

(1; 2) A   

2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD     

2 2 2 1 1 1

ah b c  

ah

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:

…………………Hết………………….

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………………

Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

       

2 2 2

2 2 2 2 3 a b b c c a a b c b c c a a b a b c

             

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

Câu Ý Nội dung Điểm

1 a

Tìm m: và cắt nhau tại hai điểm phân biệt

và hoành độ dương

1,00

Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt

0,25

0,25

0,25

Kết hợp nghiệm, kết luận 0,25

b Giải bất phương trình: 1,00

TXĐ: 0,25

Nếu thì , bất phương trình nghiệm

đúng với mọi x: 0,25

Nếu bất pt đã cho

0,25

Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có:

Tập nghiệm của bpt đã cho: 0,25

2 a Giải phương trình: (1) 1,00

Đặt . (1) có dạng: Khi đó nghiệm của

(1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I)

0,25

2 2 3 y x mx m    2 3 y x  



2 2 2 3 2 3 2( 1) 3 3 0 x mx m x x m x m          

' 0 3( 1) 0 2( 1) 0 m m

          

1 ' 0 4 m m

     

4 m 

2 8 12 10 2 x x x     

2 8 12 0 2 6 x x x       

5 6 x   2 8 12 0 10 2 x x x      

5 6 x  

2 10 2 0 2 5

8 12 0

x x

x x

         

2 2 8 12 4 40 100 x x x x       2 28 5 48 112 0 4 5 x x x       

4 5 x  

(4;6]

3 3 3 3 (4 3) 2 x x x    

3 4 3 y x x   

3 3

3 2 2 3 ( ) 4 3

y x I x x y

       

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

(I)

0,25

TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): 0,25

TH2: . Nếu có nghiệm thì .

Tương tự cũng có . Khi đó VT (2) . Chứng tỏ

TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm

0,25

b Giải phương trình: 1,00

ĐK: . 0,25

(*) 0,25

Do nên pt(*)

0,25

. Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3 0,25

3 a

. Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm

giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB( ) 1,00

Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB: 0,25

Vì AB qua M nên 0,25

0,25

Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S . Vậy S

nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8)

0,25

b (C): ; . qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm

giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN. 1,0

3 3

3 3 2 2 3

2 2 ( ) 0

y x

x y x y

         

3 3

2 2 2 2 3(2)

( )(2 2 2 1) 0(3)

y x

x y x xy y

          

3 3

4 x 

2 2 2 2 2 2 1 0; ' 2 3 x x xy y y       2 3 y 

2 3 x  

3 2 8 2 4 3 3 3 3

      

3 …