Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Vòng 1 - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN THI : TOÁN - Vòng 1

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm)

1. Cho hàm số có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của

(C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.

Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.

2. Tìm m để hàm số có cực đại.

Câu 2 (2 điểm)

a. Giải phương trình

b. Giải hệ phương trình

Câu 3 (2 điểm)

1. Chứng minh . Từ đó suy ra trong

mọi tam giác nhọn ABC ta có

.

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .

Câu 4 (3 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’,

D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.

2 1 x y x

  

2 9 9 y x m x   

2012 2012

1005

1 sin x cos x 2  

2 2

2 2

1 1

1

x x y y

x y xy

     

   

9 3 tan sin ( 3 ), 0; 2 2 2 x x x x            

9 3 tan tan tan sin sin sin 2 A B C A B C      

2 4 4 16 y x x x      

3 a

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

b) M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho .

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh

…………………Hết………………….

Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:…………………………

Chữ ký của giám thị 1:………………….Chữ ký của giám thị 2:………………………

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

Câu Ý Nội dung Điểm

I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00

. 0,25

Tiếp tuyến của (C) tại M có pt

Tiệm cận đứng có phương trình

Tiệm cận ngang có phương trình 0,25

, 0,25

(không phụ

thuộc vào a, đpcm)

0,25

2 Tìm m để hàm số có cực đại 1,00

· 0 45 MAN 

2 2 2 1 a b c   

2 2 2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 5( ) 3 3 3

a ab b bc c ca a b c a ab c b bc a c ca b

                

2 ( ) ; , 1 1 a M C M a a a

          

2 2 3 3 ' '( ) ( 1) ( 1) y y a x a     

2 3 2 ( ) ( 1) 1 a y x a a a

      ( ) 

1  1 x 

2  1 ( 1;1) y I  

1

5 1; 1 a A A a

             2 2 1;1 B B a   

1 1 5 1 6 . 1. 2 2 . .2 1 6 2 2 1 2 1 IAB

a S IA IB a a a a          

2 9 9 y x m x   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

TXĐ: ,

(I)

0,25

TH 1. nên

suy ra hàm số đồng biến trên , không có cực

trị.

0,25

TH 2.

là điểm cực tiểu loại 0,25

TH 3.

là điểm cực đại.

Vậy hàm số có cực đại 0,25

II 1 Giải phương trình (1) 1,00

Đặt . (1) có dạng: (2) 0,25

Xét hàm số

; 0,25

Vậy 0,25

hay (1) ( ) 0,25

¡

2 2 2 9 ' 9 , '' 9 ( 9) 9

mx m y y x x x      

2 2 ' 0 9 9 0 9 9 y x mx x mx         

2 2 2 2 2 0 0

81( 9) ( 81) 81.9

mx mx

x m x m x

            

2 2 81 9 9 . 9 9 9( ) m m m x x x x        

2

2 9 9 ' 0, 9

x mx y x x

     

¡

1 2

27 9 ( )

81 m I x

m

    



1 1 2 2 1 1

9 ''( ) 0 ( 9) 9

m y x x x x     

9 m  

2 2 27 9 ( )

81 m I x

m   



2 2 2 2 2 2

9 ''( ) 0 ( 9) 9

m y x x x x     

 9 m 

2012 2012

1005

1 sin x cos x 2  

  2 sin , 0;1 t x t   1006 1006

1005

1 (1 ) 2 t t   

  1006 1006 ( ) (1 ) , 0;1 f t t t t    

1005 1005 '( ) 1006[ (1 ) ] f t t t    1 '( ) 0 2 f t t  

  1005 1005 0;1 1 1 1 (0) (1) 1, min ( ) 2 2 2 f f f f t           

1 (2) 2 t 

 2 1 sin cos2 0 2 4 2 x x x k         k Z 

DeThi.edu.vn