Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

ĐẮK LẮK NĂM HỌC 2011 -2012

MÔN: TOÁN 12 – THPT

Thời gian: 180 phút (không kể phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 10/11/2011

Đề thi có 01 trang

Bài 1. (4,0 điểm).

Cho hàm số có đồ thị là (C).

Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C)

tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số: .

Bài 2. (5,0 điểm).

Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

1/ .

2/ .

Bài 3. (5,0 điểm).

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một

số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông góc H

của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.

1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp

B.ACA’.

2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’

có thể tích lớn nhất.

3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách

giữa AB và A’C.

Bài 4. (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và

đường thẳng : 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M sao cho: nhỏ nhất.

Bài 5(3 điểm).

3 2 1 y = x x 2 

2

4 4x +3 g(x) = x +1

2 cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx -2cos x +2 0 

4 3 2 x 2x + x 2(x x) = 0   

  MA +MB+MC   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng là một

số nguyên.

---------------------- HẾT ----------------------

a) Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

b) Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh……………………............……………… Số báo danh………....

(m+2010)!

m!2011!

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM

HỌC 2011 - 1012

TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

(gồm 4 trang)

A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Bài(ý) Nội dung đáp án Biểu

điểm

Bài 1

(4 đ)

* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

- Đặt t = x2, với ta có hàm số ;

- ; g’(t) = 0 ;

- Ta lại có: ; , bảng biến thiên của hàm số:

t –2 0

g’(t) – 0 + + 0 –

g(t) 0

–1

3

4

0

- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là = 4, đạt được khi

* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C)

- Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0)) (C), thì hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại

M0 là f’(x0)=

- Vậy: suy ra x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) =

+ Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– ); ( ; )

0,75

0,5

0,75

0,5

1,0

2

4 4x +3 g(x) = x +1

t 0  2

t4 +3 g(t) = t +1

2 2

2 4t 6t +4 g'(t) = (t +1)   1 t = 2;t = 2  

lim ( ) 0 t g t   lim ( ) 0 t g t  

 1 2



(x) g 2 2 x 



2 0 0 3x x 

2 0 0 3x x = 4  4 3

3 2

4 3

40 27

3 2

4 3

40 27

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 2

(5 đ)

1/

(2,5 đ)

Phương trình

cosx + 2cos2x + .sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – 1 ) = 0.

cosx(2cosx + 1)+ .sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = 0

(2cosx + 1)(cosx + .sinx –2.cos2x) = 0

Nếu: 1/ 2cosx + 1 = 0

2/ cosx + .sinx –2.cos2x = 0

,

- Nghiệm của pt là:

;

0,5

1,0

0,5

0,5

0,5

2/

(2,5 đ)

Bài 3

(5 đ)

- Phương trình

- Đặt t = , với ta có phương trình:

t4 – t2 – t = 0; suy ra t = 0; t =

- Với t = 0 thì x = 0; x = 1

- Với t = thì x = –1; x = 2

Tóm lại phương trình có 4 nghiệm phân biệt:

B B’

1,0

0,75

0,75



3

 3

 3

 2 2 , 3 x k k Z     

3 

1 3 cos sin cos2 2 2   x x x cos( ) cos2 3 x x     2 2 ; ; 3 9 3 k x k x k Z         

2 2 , 3 x k k Z      2 2 ; ; 3 9 3 k x k x k Z         

 2 2 4 3 2 ( x 2x + x x x) 2(x x) = 0     

 2 2 2 2 ( (x x) x x) 2(x x) = 0     

2 x x  t 0 

2 2

2

  1;0;1;2 

DeThi.edu.vn