Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GDĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013

MÔN: TOÁN Ngày thi 09/10/2012

(Thời gian làm bài 180 phút)

Đề thi gồm 04 câu, trong 01 trang

Câu 1 (5 điểm):

Giải hệ phương trình:

Câu 2 (5 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH và ACH. Các đường thẳng AP, AQ lần lượt cắt BC tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng AH, DQ, EP đồng quy tại một điểm.

Câu 3 (6 điểm):

Cho phương trình (ẩn x, tham số n nguyên dương):

a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n phương trình có 1 nghiệm dương duy nhất, kí hiệu nghiệm đó là .

b) Chứng minh rằng .

Câu 4 (4 điểm):

Cho tập Sn = {1; 2; 3;…; n} với n là số nguyên dương lớn hơn 2. Có bao nhiêu cách chia tập Sn thành ba tập con khác rỗng (hợp với nhau bằng Sn và đôi một giao với nhau bằng rỗng) sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp?

HẾT

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..........................................................................

Giám thị 2:..........................................................................

3 2

3 2

3 2

x y 2y 8

y z 2z 8

z x 2x 8

             

2 3 n 3 x 2x 3x ... nx 0 4      

n x

n

1 limx 3 

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT

Kỳ thi thứ nhất - Năm học 2012 – 2013

MÔN: TOÁN

Ngày thi 09/10/2012

(hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1

5 điểm

Ta có:

Giả sử

. Vậy x = y = z. Khi đó ta có phương trình:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y; z) = (2; 2; 2).

1,0

1,0

1,5

1,0

0,5

2

5 điểm

Cách 1:

tam giác ABE cân tại đỉnh B. Mà BP là đường phân giác góc là đường trung trực của đoạn AE .

Mặt khác

1,0

1,0

1,0

1,0

3 2 3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

x y 2y 8 x (y 1) 7

y z 2z 8 y (z 1) 7

z x 2x 8 z (x 1) 7

                            

x,y,z 1  

2 2 2 2 x max{x;y;z} (y -1) max{(x -1) ;(y -1) ;(z -1) }    y max{x;y;z} x y y z     

3 2 3 2 2 x x 2x 8 x x 2x 8 0 (x 2)(x x 4) 0

x 2

            

 

· · BAH ACH  · · · · · 1 BAE BAH HAE BAH HAC 2    

· · · · · 1 BEA ACH EAC ACH HAC 2    

· · BEA EAB   

ãABE BP  PA PE   · · · · · · 0 1 1 PAE PAH HAE (BAH HAC) BAC 45 2 2      

B

A

C H E D

P

Q

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

vuông cân tại đỉnh P . Tương tự: . Vậy AH, DQ, EQ là các đường cao của tam giác ADE suy ra AH, DQ, EP đồng quy.

Cách 2:

Áp dụng tính chất tia phân giác các góc trong tam giác:

, , ,

= =

AH, DQ, EP đồng quy (Định lí Ceva)

1,0

2,0

1,5

0,5

1

a) 2 điểm

Xét

Ta có đồng biến, liên tục trên R.

Mà

có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc

0,5

0,5

0,5

0,5

b) 4 điểm

3

(6 điểm)

Suy ra suy ra (do là hàm số đồng

biến trên R)

Với mọi , theo định lý Lagrange, tồn tại sao

1,0

0,5

0,5

PAE  EP AD   DQ AE  

PA AB PD BD  QE CE QA AC  HD AH DB AB  EC AC HE AH 

PA . PD  HD. DB

EC . HE

QE QA

AB. BD

AH . AB

AC . AH

CE AC

CE BD

PA HD QE . . 1 PD HE QA  





2 3 n n

3 f x x 2x 3x ... nx 4      

 ' 2 2 2 2 n 1 nf x 1 2 x 3 x ... n .x     

 ' nf x 0 x R    nf x 

  n n f 0 0; f 1 0  

 nf x 0     0;1

 

2 n 1

2 n 1 n

1 1 1 1 9 3f 1 2. 3 ... n 3 3 3 3 4

1 1 1 1 1 3 f 2 ... n 1 n 3 3 3 3 3 4





                      

                              

 

 

2 n 1

n n

* n

3 2n 1 1 1 1 n 3 2f 1 ... 3 3 3 3 3 2 2.3

2n 3 1 f 0 n N 3 4.3

                                      

  n n 1 f f x 3      

n

1 x 3   …