Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Gia Lai (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/12/2013

Câu 1. (2,5 điểm)

Cho hàm số có đồ thị (C) . Tìm những điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với

(C) tại M cắt các trục , lần lượt tại và . Biết trọng tâm của tam giác nằm trên đường thẳng (với O là gốc tọa độ).

Câu 2. (2,5 điểm)

Cho phương trình bậc ba: . Gọi là ba nghiệm của phương trình đã

cho. Không giải phương trình hãy tính tổng .

Câu 3. (2,5 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho dãy số được xác định bởi:

và với .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số . Từ đó suy ra giới hạn .

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng .

Câu 6. (6,5 điểm). Cho tam giác ABC, có bán kính đường tròn ngoại tiếp .

a) Với giả thiết trên, xét trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), gọi là một điểm thuộc đường thẳng AB. Từ đỉnh A của tam giác ABC kẻ các đường trung tuyến, đường phân giác trong lần lượt có phương trình , . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Biết rằng hoành độ các điểm B, C đều dương.

b) Gọi M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC và lần lượt là độ dài các cạnh, độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Chứng minh

rằng: .

1 1 x y x

   Ox Oy A B G OAB : 2x 0 d y  

3 5 3 0 x x    1 2 3 , , x x x

10 10 10 1 2 3 S x x x   

2

2

2 2 ln 0 2 15 2 5 0

x y x

y y y xy x

              

( ) nx

1 2 3 x  

2

1

1 2( 3)

n n

n

x x

x



 



2, 3, n  

( ) nx 1 2013 lim n

n n

x x 



, , x y z 1 x y z   

1 x yz y zx z xy xy yz zx        

5 2 R 

(3; 2) D 

1 : 4x 5 14 0 d y    2 : 3 0 d x y    , B C

, , , , , a b c a b c h h h

3 . . . 5 a b c MA h MB h MC h abc   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất 2

ĐÁP ÁN

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Gọi là điểm cần tìm và là tiếp tuyến với

(C) tại M. Phương trình

0,5

cắt tại và cắt tại 0,5

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có 0,25

Vì mà d: nên

Do không trùng với nên

.

Với (thỏa điều kiện). Với (thỏa đk)

0,75

Câu 1:

2,5 điểm

Vậy các điểm cần tìm là 0,5

Theo định lí Vi-et ta có:

(không cần chứng minh)

0,5

Vì là nghiệm của phương trình đã cho nên Suy ra:

0,75

0,75

Câu 2: 2,5 điểm

Mặt khác : Vậy

0,5

0 0 0 0

1 ; ( ); 1 1 x M x C x x          



 

  0 0 2

0 0

1 2 : 1 1

x y x x x x

      

   

2 0 0 2 2 0 0

2 1 2

1 1

x x y x x x

      

 Ox

2 0 0 2x 1;0 2 x A        

Oy

 

2 0 0

2 0

2x 1 0;

1

x B

x

          

 

2 2 0 0 0 0

2 0

2x 1 2x 1 ; 6 3 1

x x G

x

             

G d  2x 0 y  

   

2 2

2 0 0 0 0

0 0 2 2 0 0

2x 1 2x 1 1 2. 0 2x 1 1 0 (*) 6 ( 1) 3 1

x x x x x

                         

, A B O 2 0 0 2x 1 0 x  

0 0 2 0

1 (*) 1 0 2; 0 ( 1) x x x      

0 0 0 1 x y    0 0 2 3 x y  

    1 2 0; 1 ; 2;3 M M  

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

0

. . . 5

. . 3

x x x

x x x x x x

x x x

           

; 1,2,3 ix i  3 5 3 i i x x  

5 2 3 2 3 2 2 . (5 3) 5 3 5(5 3) 3 i i i i i i i i i x x x x x x x x x        

2 3 25 15 i i x x   

8 3 2 2 (3 25 15) 134 225 90 i i i i i i x x x x x x      

10 2 2 (134 225 90) i i i i x x x x     2 760 1527 675 i i x x  

10 10 10 1 2 3 S x x x     2 2 2 1 2 3 1 2 3 760( ) 1527( ) 2025 x x x x x x      

    2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 10 x x x x x x x x x x x x         

760.10 2025 9625 S   

DeThi.edu.vn