Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án chi tiết)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

§Ò thi chän häc sinh giái líp 12 THPT

Môn thi: Toán (thời gian làm bài: 180 phút) Câu 1: (2®) Không dùng bảng số hoặc mấy tính cá nhân chứng minh: tg 550 > 1,4. Câu 2: (2 ® )

Chøng minh

Và suy ra giá trị của chúng . Câu 3 ( 2 ® ) Biện luận theo m số nghiệm ccủa phương trình

Câu 4: ( 2 ® ) Tìm m để phương trình: x4 – (2m + 3 ) x2 + m + 5 = 0 Có các nghiệm thoả mẫn: - 2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2. Câu 5: (2®) Tìm nghiệm trên khoảng ( 0 : ) của phương trình

Câu 6 (2®) Trong tam giấc ABC có các góc và các cạnh thoả mãn:

(1)

Chứng minh tam giác là tam giác cân Câu 7: ( 2 ® )

Tìm giới hạn E = (m,n )

Câu 8: (2®)

Giải hệ phương trình :

Câu 9 (2®) Cho 2 đường tròn (C1 ) : x2 + y2 – x – 6y + 8 = 0 (C2 ): x2 + y2 – 2mx – 1 = 0 Tìm m để (C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc với nhau Nói rõ loại tiếp xúc. Câu 10 (2®) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên, n 1 thì

>

 

 

  

2

0

2

0

. .

x Sin x Cos

dx x Sin x Sin x Cos

dx Cos

n n

n

n n

n

6 4 4 4 4 4       m x x m x x



) 4 3 ( 2 1 2 3 2 sin 4 2 2      x Cos x Cos x

2 2 4

2 1

c a

c a SinB

CosB



  

) 1 1 ( 1 n m x x n x m Lim   

 Z

 

  

    

       

) 2 ( 0 ) 2 ln( 1 4

)1( 2 1 5 4 1

2 3

1 2 2 1 2

x y x y

y x y x y x



1

1 1 1

      

 

n

n

n

n 

    1 1

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Sở GD&ĐT Thanh hoá

Trường THPT Thọ Xuân 4

Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Năm học 2005-2006

Môn toán- bảng A Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 Câu 1:

Ta cã:

Xét hàm số : f(x) = ta có:

f’(x) = > 0 .Vậy f(x) đồng biến x (- ;1) hoặc x (1;+

).

Theo (1) ta cã tg550=f(tg )> f( )>f( =1,4

(0,5®)

(0,5®)

(0,5®)

(0,5®)

2 §Æt t= -x dt = - dx.

Ta cã: = =

= = (1)

Mặt khác: + = = . (2)

Từ(1) và (2): = =

(0,5®)

(0,25®)

(0,5®)

(0,5®)

(0,25®)

3 (1)

§Æt t= (t 0) (2)

t2 =

0,25® 0,25®

0,25®

18 1

18 1

10 1

10 1 ) 10 45 ( 55 0

0 0 0 0

 

       

tg

tg

tg tg tg tg

x x   1 1

2) 1(

2

x    



18



18

 ) 6 1

2  







2

0 x Sin x Cos

xdx Cos

n n

n





    

  2

0 ) 2 ( ) 2 (

) 2 (

t Cos x t Sin

dt t Cos

n n

n







2

0 t Sin t Cos

tdt Sin

n n

n







2

0 x Sin x Cos

xdx Sin

n n

n







2

0 x Sin x Cos

xdx Cos

n n

n







2

0 x Sin x Cos

xdx Sin

n n

n





2

0

dx 2 







2

0 x Sin x Cos

xdx Cos

n n

n







2

0 x Sin x Cos

xdx Sin

n n

n

4 

6 4 4 4 4 4       m x x m x x

4 4 4 m x x   

 m x x  4 4

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Ta cã: t=2.

Từ (2) = 2 x4+4x+m=16. -x4-4x+16=m Đặt: f(x)= -x4-4x+16 f’(x) = -4x3-4=-4(x3+1) f’(x)=0 x=-1và f(-1)=19 = -

Bảng biến thiên của f(x)

x - -1 + F’(x) + 0 -

F(x)

19

- - Từ bảng biến thiên ta có bảng biện luận theo m số nghiệm của (1) như sau:

m Số nghiệm của phương trình (1) +

19

-

0 1

2

0,25®

0,25®

0,25®

0,5®

4 Đây là phương trình trùng phương Đặt t= x2 0; khi đó phương trình đã cho có dạng: t2 – (2m+3)t +m+5 = 0 (2). Phương trình đã cho có 4 nghiệm x1;x2;x3;x4 khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương t1 ; t2 dương.(0<t1<t) Khi đó:

, và

Do đó: - 2< x1 <-1 < x2 < 0 < x3 < 1< x4 < 2

(Không có m thoả mãn )

0,25®

0,25®

0,5®

0,5®

0,5®



  

  



0 6

0

2 t t

t 

4 4 4 m x x    



 Lim x 

 

 







2 1 t x   1 3 1 2 , t x t x    2 4 t x 

  

 





 

  





  

 

    





   

    

            

7 9

5 3

0 9 7

0 5

0 3

0 ) 4 (

0 ) 0 (

0 )1(

0 1 4

2 1 0 1 2

1 2

2 1 1 2

m

m

m

m m

m

af af

af

t t

t t t t

DeThi.edu.vn