Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

§Ò thi häc sinh giái líp 12

Bảng A

Thêi gian: 180 phót

Bài 1: (4 điểm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

.

2. TÝnh tÝch ph©n:

.

Bài 2: (4 điểm)

Cho phương trình:

1. Giải phương trình khi a = 4.

2. Tìm a để phương trình có nghiệm.

Bài 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x.

2. Chứng minh rằng đều nếu thoả mãn:

tgA + tgB + tgC = .

Bài 4: (2 điểm)

Tìm giới hạn: .

Bài 5: (2 điểm)

Giải bất phương trình: .

Bài 5: (4 điểm)

x 1

4 x 4 x y

2



  





 

0

2 x cos 1

xdx sin x I

2 x 1 x a 2 3   

ABC 

2 C g cot 2 B g cot 2 A g cot  

1 x 3

x ) 2 x

3 x ( lim 

   

2 2 2

)1 x (

1 x 2 log 2 x 6 x 2



   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy.

Cho elip (E) có phương trình: ; điểm I(-1;-2) và đường thẳng (d): x + y – 6

= 0.

1. Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho I là trung

điểm AB.

2. Tìm toạ độ điểm M (E) sao cho khoảng cách từ M đến d là nhỏ nhất.

1 9 y 16 x 2 2

 



DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12

ý Néi dung

Thang điểm

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 1

1 Tập xác định: R\{1}

Sự biến thiên:

y’=

+, -> đường thẳng x=1 là tiệm cận

đứng.

+,

= đường thẳng y= - x+3 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

x - 0 1 2 +

y - 0 + + 0 -

y’

+ +

4

0

- -

§å thÞ:

0.5

0.25

0.25

0.25

0.75

  

  0 ) x 1(

x 2 x

2

2 [

4 y,0 x

0 y,2 x

) 0 (

) 2 (

 

 

   

   

y ; y lim lim

1 x 1 x

   

     

y ; y lim lim

x x

          

  

 

)] 3 x ( y [ x 1

1 3 x x 1

4 x 4 x y lim

x

2

    x 1

1 lim

x

 

 

 

2 1

4

2

1

0

y

3

x

3

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 1

2

TÝnh: I =

§Æt

x 0

t 0

dx = - dt

I = -

§Æt u = cost -> du = - sintdt

t 0

u 1 -1

§Æt u = tgv víi v , du = (1+tg2v)dv

u -1 1

v -

0.75

0.5

0.75





 0

2 x cos 1

xdx sin x

t x   





I td t cos 1

t sin dt t cos 1

t sin )t (

0

2

0

2     

   





dt t cos 1

t sin 2 I

0

2 



   



     

1

1

2 u 1

du 2 I

) 2 ; 2 (    

4 

4 

4 ) 4 4 ( 2

v 2 dv 2 I dv v tg 1

dv ) v tg 1( u 1

du

2

4

4

4

4

2

2

2

      

          



 



 



DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 2

1

2

§iÒu kiÖn: x

Phương trình đã cho tương đương với :

đặt t = điều kiện

phương trình trở thành: f(t) = t2 + at – 1 = 0 (1)

Với a = 4 ta có: phương trình (1) là: t2 + 4t – 1 = 0

Víi t =- 2 + ta cã: t =

<=> t2x2 + t2x +t2 = x – 1 <=> t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + 1 = 0

Vậy với a = 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình:

t2 + at – 1 = 0 (1) cã nghiÖm

dễ thấy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn:

t1 < 0 < t2 , do đó phương trình có nghiệm <=> t2

Vậy tập giá trị cần tìm của a là: )

0.25

0.75

0.75

0.5

0.5

0.25

1 

) 0 1 x x do ( ) 1 x x

1 x ( 1 1 x x

1 x a

)1 x ( )1 x x ( )1 x x )( 1 x ( a

2 2 2 2

2 2

    

    

 

       

1 x x

1 x

2  



3

3 2 3 t 0    

[

)i ¹ lo ( 5 2 t

] 3

3 2 3 ; 0 [ 5 2 t

  

      

5

1 x x

1 x

2  



1 x n · m ¶ tho n ª nhi hiển t 2

1 t 6 t3 t 1 x 2

2 4 2

       

2 5 t víi , t 2

1 t 6 t3 t 1 x 2

2 4 2

2 ,1         

D ] 3

3 2 3 ;0 [ t    

D 

3 2 3

)1 3 ( 2 a 0 ) 3

3 2 3 (f

 

      

   ; )1 3 ( 2 [ DeThi.edu.vn