Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 THPT - Bảng A (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bảng A

( Thời gian 180 phút , không kể giao đề) Bài 1( 4,0 điểm)

Cho hàm số : y =

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (Cm) khi m = 1 2) Tìm m để cực đại , cực tiểu của (Cm) nằm về hai phía của đường thẳng 9x –7y – 1 = 0 Bài 2( 4,0 điểm)

1)Tìm p và q để giá trị lớn nhất của hàm số y = trên là bé nhất

3) Gọi ( x ; y ) là nghiệm của bất phương trình . Tìm ( x; y) sao cho 2x + y lớn

nhất Bài 3 ( 4,0 điểm) Cho cos3x – cos2x + mcosx – 1 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 3

2) Tìm m để phương trình (1) có số nghiệm nhiều nhất trên

Bài 4(4,0 điểm)

1) TÝnh

2) Cho x2 +y2 =1 . Chøng minh :

Bài 5( 4,0 điểm)

1) Cho tứ diện ABCD . Các mặt của tứ diện có diện tích bằng nhau . Chứng minh rằng tâm mặt cầu nội , ngoại tiếp tứ diện trùng nhau. 2) Cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng (P) . Tìm trên mf (P) điểm M sao cho

nhá nhÊt

) ( 1

8 2

m C x

m mx x



  

q px x   2  1;1 

1 ) 2 ( log 2 2 2    y x y x

       2; 2

 



0 cos 1

sin dx x x x I

2 ) ( 5 ) ( 20 ) ( 16 3 3 5 5       y x y x y x

MD MC MB MA   

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn chấm và thang điểm thi học sinh giỏi 12 môn toán bảng a Bài Hướng dẫn chấm Điểm

1

1) Khi m = 1

*) Tập xác định : x

*) Sự biến thiên :

Ta có bảng biến thiên

x - -2 1 4 +

y’ + 0 - - 0 + C§ + + y - - CT

*)Hàm số đạt cực đại tại x = -2  yCĐ = -3 đạt cực tiểu tại x = 4  yCT = 9 *)x = 1 là tiệm cận đứng vì Lim f(x) = - và lim f(x) = + x1- x1+

*) y = x + 2 là tiệm cận xiên vì lim(f(x) –x – 2 ) = lim

x x Đồ thị : dạng đồ thị

2)Tập xác định x  1 ; y’ = 0  x =-2 ; x = 4

Vậy với mọi m thì (Cm) luôn có cực đại và cực tiểu. Theo câu 1) ta có yCĐ= m – 4

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

0,5

) ( 1

7

1

2

C x

x x y 

   

1 

4 & 2 0 ; )1 (

8 2 ' 2

2 '      

   x x y x

x x y

0 1 9   x

2

2 '

)1 (

8 2 

    x

x x y

x

y

O

9

-2 4 1

-3

-7

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

tại x = -2 ; đặt A ( -2 ; m – 4 ) yCT = m + 8 tại x = 4 ; đặt B ( 4 ; m + 8 ) A ; B nằm hai phía của đường thẳng 9x – 7y – 1 = 0  (9xA – 7yA – 1 )( 9xB – 7yB – 1 ) < 0

 ( 9 -7m )( -21 – 7m) < 0  -3 < m <

Vậy m thoả mãn bài toán

0,5

0,5

0,25

0,25

2

1)§Æt y = f(x) = x2 + px + q ; h(x) = . Gäi max h(x) =

h( ) ta cã f(0) = q ; f(1) = 1+p + q ; f(-1) = 1- p + q ;

NÕu p > 0  h(

NÕu p < 0  h(

Chó ý : Max h(x) = max

*) NÕu p = 0  f(x) = x2 + q ; f(0) = f(- ) = q ; f(1) = 1 + q

Giá trị lớn nhất của h(x) là một trong 2 giá trị

NÕu

NÕu q < -

Nếu q = - cũng là giá trị

nhỏ nhất của h() .Vậy p = 0 ; q = - thoả mãn bài toán

2)

0,25

0,25

0,25 0,25

0,25

0,5

0,25

0,5

7 9

       7 9 ;3

) (x f



p f f f f       1 ) 0 ( )1( ) 0 ( )1(

p f f f f        1 ) 0 ( )1 ( ) 0 ( )1 (

  







    

2 1 ) 0 (

2 1 )1( 1 1

f

f p 2 1 )  

  







     

2 1 ) 0 (

2 1 )1 ( 1 1

f

f p 2 1 )  

  

     )1( ;)1 ( ;) 2 ( f f p f

 1;1 

2

p

q q  1 ;

2 1 ) ( 2 1 )1 ( 2 1 1 2 1            h f q q

2 1 ) ( 2 1 ) 0 ( 2 1 2 1        h f q

2 1 2 1 ) 2 1 2     x fx 1 ;0 2 1 ) ( max       x x x h

2 1

    





  

   

    

  

 

   

) ( 2 2 0

1 2

) ( 2 2

1 2

(*) 1 ) 2 ( log

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

II y x y x

y x

I y x y x

y x

y x y x 

DeThi.edu.vn