Đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn Toán học – Thời gian làm bài 180 phút

Bài 1: Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m . a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến . b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng . Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :

Được nghiệm đúng với mọi x . Bài 3: Giải phương trình

Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn

y6 + y3+ 2 x2 =

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM , CM, DM. Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A1, B1 , C1 , D1.

a) Chứng minh rằng :

Không đổi .

b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức

Đạt giá trị nhỏ nhất . Bài 6:Chứng minh với mỗi số nguyên dương n thì phương trình x2n+ 1 = x + 1 . chỉ có 1 nghiệm số thực xn . Khi đó tìm lim xn n

1 3 4

1

2    



a x ax

x

2 ) 1 ( 2 2

3

  

 x x

x x

2 2y x xy

1

1

1

1

1

1

1

1

DD MD CC MC BB MB AA MA   

1 1 1 1 MD

DM MC

CM MB

BM MA

AM P    

 

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đáp án và biểu điểm môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12

Bài 1: a) (1.5 điểm ) D = R Cần điều kiện : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0 Thoã mãn với x (0.25 điểm) + m + 1 = 0 => m = - 1 có y’ = 4 > 0 Thoã mãn với x vậy m = -1 là giá trị cần tìm . (0.25 điểm) + m + 1 0 = > m = - 1 . Để y’ 0 Thoã mãn với x cần điều kiện

hoặc m (0.50 điểm)

Kết luận: m (0.25 điểm)

b) Gọi (x0 ;y0) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với m => m ( (*)

Để phương trình (*) không phụ thuộc m cần

Xét phương trình

Gọi f(x) = là hàm số liên tục trên R

+ Có f(0) .f(-1) <0 => phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0)

(1.0 điểm) + Có f(1) .f(2) <0 => phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) + Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0. Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (-

Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm . Các nghiệm ấy thõa mãn :







  

  

     

 

0 )1 ( 12 )1 ( 9

0 1

2 ' m m m

m

1 0 ) 3 7 )( 1 (

0 1      

  

   m m m m  7 3 

  . ; 7 3 1 ;            



0 3 )1 4 3 0 2 0 3 0 0 2 0 3 0        y x x x x



 

  

   

0 3

0 1 4 3

0 2 0 3 0

0 2 0 3 0

y x x

x x x

0 1 4 3 0 2 0 3 0     x x x

0 1 4 3 0 2 0 3 0     x x x

 

)1 ; 



 

  

   

0 3

0 1 4 3

2 3

2 3

y x x

x x x

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Trừ hai phương trình cho nhau được : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đường thẳng y = 4x - 1 .

Bài 2 (3 điểm ) Trước hết cần ax2 - 4x + a - 3 0 với mọi x

 a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)

+ Nếu a < -1 thì ax2 - 4x + a - 3 < 0 với . Bất phương trình đã cho thỏa mãn với . x + 1 > ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với . ax2 - 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với . = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) (1,0 điểm)

= 4a2 - 16a - 25 > 0 (do a < - 1)

+ Nếu a > 4 thì ax2 - 4x + a - 3 > 0 với . Bất phương trình đã cho thỏa mãn với . x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với . ax2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với (1,0 điểm) = 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a = 4 > 0)

4a2 - 16a - 25 > 0 (do a > 4)

Kết luận: (0.5 điểm)

Bài 3: ( 3 điểm ) Tập xác định D = R (0,25 điểm) Do x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho nên phương trình đã cho

(0,25 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

Đặt Điều kiện



  

    

 

0 ) 3 ( 4

0

' a a

a

x 

x 

 x 

 x 



 2

41 4   a

x 

x 

 x 

 x 



 2

41 4   a

 

  

     

  

     ; 2

41 4 2

41 4 ; a

x 

2

1 1

1

1

2 2 2

2

3



       

 

 

  

  





x x

x x

x

x x

x

x x

x x x x 1 1 1 2

2

          

. 1 t x x   2  t

DeThi.edu.vn