Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Bảng A (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A

(Thời gian làm bài 180 phút)

Bài 1: (7 điểm)

1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y= (x-5)

2) Cho hàm số y=

Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đường tiệm cận xiên của đồ

thị vuông góc với đường thẳng y=

3)Giải bất phương trình:

+2x > 2x.3x. + 4x2.3x

Bài 2: (4 điểm)

Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình:

Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.

Bài 3(5 điểm)

Giải phương trình:

1)

2) sin3x.(1- 4sin2x) =

Bài 4:(4 điểm)

ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại

A, lấy điểm S với AS = h.

1) Hy là đường thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt phẳng

(SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đường thẳng Hy luôn luôn đi qua một

điểm cố định.

2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.

3 2) x 3 2 ( 

2 x

c bx ax

2



 

2

x 1 

2 x 3 x 5 2  

2 x 3 x 5 2  

1 ) y x ( log 2 2 y x   

 

2 3 3 2 x 1 2 ) x 1( ) x 1( x 1 1        

2 1

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi

Líp 12

Bài 1:

Câu 1: (2 điểm)

Tập xác định: D = R 0,25

điểm

y'= (-3) (x-5) + 0,25

điểm

= + 3(2-3x) = 0,25

điểm

Điểm tới hạn: x= ; x= 0,25

điểm

x - 2/3 12/5 +

y' +  - 0 +

y 0,5 điểm

Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3) (12/5; +) 0,25

điểm

Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25

điểm

Câu 2: (2 điểm)

Đường tiệm cận xiên có hệ số góc k = =a 0,25

điểm

Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng y=

ta cã a=2 0,25

điểm

3 2 3 1 ) x 3 2 (

  3 2 ) x 3 2 ( 

3 x 3 2 3

30 x 6



 

3 x 3 2

12 x 5



 

3 2

5 12



2 x

c bx ax lim

2

x 

 

 

2 1 x 2 1  

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

XÐt y=

y' = 0,25

điểm

Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:

0,5 điểm

=> 0,25

điểm

Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số

y= thoả mãn điều kiện 0,25

điểm

KÕt luËn: a=2, b=-3, c=0 0,25

điểm

Câu 3: (3 điểm)

Bất phương trình trở thành:

( +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 điểm

Tập xác định: -2 x 0,25

điểm

(*)  0,5 điểm

Xét hệ (I): Giải (1) ta được -1< x  1/3 0,5 điểm

§Æt f(x) = 1-2x.3x ta thÊy:

-1  x  0 hiển nhiên f(x)>1 0,25

điểm

Khi 0<x 1/3 

2 x

c bx x 2

2



 

2

2

) 2 x (

c b 2 x 8 x 2



  

  

    

    

1 )c b 2 ( )1( y

0 c b 2 6 )1('y

  



 

0 c

3 b

2 x

x 3 x 2

2





2 x 3 x 5 2  

3 1

    







 

 

   



 

 

   

0 3.x 2 1

0 x 2 x 3 x 5 2 ) II (

0 3.x 2 1

0 x 2 x 3 x 5 2 )I(

x

2

x

2

3 3 1 x 3 3 3 0   

)1(

) 2 (

) 3 (

) 4 (

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Do đó f(x) =1-2x.3x > 0

Nghiệm của (I) là: 0,25

điểm

Xét hệ (II): Giải (3) ta được 0,25

điểm

Nhưng f(x) = 1-2x.3x > 0 x 0 nên bất phương trình (4) không

thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm 0,25

điểm

Tóm lại, bất phương trình đã cho có nghiệm 0,25

điểm

Bài 2: (4 điểm)

Xét 2 trường hợp:

+TH1: x2+ y2 > 1 khi đó dễ thấy bất phương trình

(1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm

Ta có (1)  x+y x2+ y2  x+2y  x2 + y2 + y (2) 0,5 điểm

Gọi S= x+2y  x=S - 2y thay vào (2) ta được

S(S-2y)2 +y2+y  5y2 -(4S-1)y +S2 - S  0 (3) 0,5 điểm

Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,

Vậy 0,5 điểm

Với S = thì = 0 khi đó (3)  y= 0,25 điểm

Suy ra x= S -2y = (thỏa mãn x2+ y2 > 1) 0,5 điểm

+TH2: 0< x2 + y2 < 1. Khi đó (1)  0 <x+y<x2+y2

=> S=x+2y < x2+y2+y<1+1=2< (do x2 + y2 < 1, ) 0,5 điểm

1 3 . 3 1 .2 3.x 2 0 3 x   

3 1 x 1   

1 x 2    

3 1 x 1   

1 ) y x ( log 2 2 y x   

2

10 3 S 2

10 3    

2

10 3 

10 2 2 1 10

1 S 4   

10 2 2 1 

2

10 3  1 y 

DeThi.edu.vn