Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Lê Văn Minh (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

§Ò thi häc sinh giái líp 12

Môn: Toán Thời gian: 180 phút

Giáo viên thực hiện: Lê Văn Minh

Lê Văn Khởi

Câu 1: (4 điểm)

Cho hàm số: (C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

(1)

Câu 2: (4 điểm)

a) Chøng minh r»ng: víi

b) Tìm m để pt sau có nghiệm:

Câu 3: (5 điểm)

a) TÝnh:

b) Tìm thoả mãn

c) Cho các số dương a, b, c, d thoả mãn:

Chøng minh r»ng:

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho elíp: (E) và Hypebol: (H) (với a, b, m, n > 0) có cùng chung tiêu

điểm F1 và F2: Chứng minh rằng tiếp tuyến của (E) và (H) tại giao điểm của chúng vuông góc với nhau.

Câu 5: (4,5 điểm)

Cho tứ diện đều ABCD, gọi (C) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Điểm

1 3 2 3    x x y

0 3 2 3      k kx x x y

2 cos    x x e x 0  x

1 2 2 4 2 1 1 2 2         mx x x mx x

 

 



   2

0

sin 1

sin 1

) cos 1( ln



dx x x x

Z x   

x

x tdt

0

1 2 cos sin



 

  

  

2005 2005 2005 2005

2004 2004 2004 2004

d c b a

d c b a

2006 2006 2006 2006 d c b a   

1 2

2

2

2

 

b

y a

x 1 2

2

2

2

 

n

y m

x

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

M  (C), gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là hình chiếu của M trên các mặt phẳng (BCD); (ACD); (ABD);

(ABC).

a) Tìm vị trí điểm M  (C) sao cho tổng:

S = MA1 + MB1 + MC1 + MD1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng tồn tại điểm M  (C) để 4 điểm A1, B1, C1, D1 không đồng phẳng:

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đáp án Đề thi học sinh giỏi lớp 12

Môn: Toán Thời gian:

Giáo viên thực hiện: Lê Văn Minh

Lê Văn Khởi

C©u 2

(4 điểm)

Câu a: (2 điểm) Chứng minh rằng với

(1) víi

§Æt:

0,25

Ta cã: 0,25

0,25

V× cßn víi 0,25

Vậy hàm số f(x) = đồng biến trên 0,25

víi 0,25

hay f(x) đồng biến 0,25

víi

0,25

Câu b: (2 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

(1)

Phương trình (1)

0,5

(2) 0,25

Xét hàm số Ta có 0,5

Ta có Vậy hàm số f (t) đồng biến  t 0,25

Từ đẳng thức (2) 0,25

(3)

Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (3) có nghiệm

 '  0  m2 - 1 0 

0,25

C©u 3

(5 điểm) Câu a: (2 điểm) Tính:

)1( 2 cos    x x e x 0  x

0 2 cos      x x e x 0  x

2 cos ) (     x x e x f x

1 sin ) ('    x e x f x

x e x f x cos ) ( "  

1 ,0   x e x 0 cos ) ( " 1 cos      x e x f x x 0  x

   ,0

0 ) (' 0 1 0 sin ) 0 (' ) (' 0        x f e f x f 0  x

   ,0

0 2 0 0 cos ) 0 ( ) ( 0       e f x f

2 cos 0 ) (      x x e x f x 0  x

0 1 2 2 4 2 1 1 2 2          mx x x mx x

1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2            x mx x x mx x

1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2           x mx x x mx x

t t f t  2 ) ( 1 2 ln 2 ) ('   t t f

t t f  0 ) ('

1 2 2 2 2 2      x mx x

0 1 2 2     mx x

1  m

 

 



   2

0

sin 1

sin 1

) cos 1( ln



dx x x x

DeThi.edu.vn