Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 - Bảng A (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đề thi học sinh giỏi khối 12 (bảng a)

môn: toán

thêi gian: 180'

Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số:

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

2. Tìm m (0; ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đường thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện

tÝch b»ng 4.

Bài 2: (4 điểm).

1. Giải các phương trình: 3 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).

2. giải phương trình: log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ + 2.log7(x + 3)]

Bài 3: ( 4 điểm). 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm.

= sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Bài 4( 4 điểm). 1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R1, R2, R3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R1+R2+R3 = 3R. Tính 3 góc của ABC 2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T1, T2. Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T1, T2 có bán kính nhỏ nhất.

Bài 5:( 4 điểm).

1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:

Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ë A1, B1, C1, D1 CMR:

) ( 3 1 2 2 3 1 2 3 cm m x mx x y     

 6 5

1  tgx

2 x

x a a sin  

0 6 4 1 ). 1( 4 1 )1 ( 2 1 2 3

          a x

x a x x a x x

x

  



  

1 ) 0 (

0 ) ( ) ( ). ( 4 ) ( 2 ' 2'

f

x f x f x f x f

GD GC GB GA GD GC GB GA        1 1 1 1

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Đáp án và thang điểm

Đáp án Thang điểm

Bài 1: 1.Khi m=1.

TX§ : D = R

+

Hàm số đồng biến (-∞; -1- ) (-1+ ; +∞)

Hàm số nghịch biến ( -1- ;1+ )

yC§ = y(-1- ) = yCT = y(-1+ ) =

0,5

Đồ thị hàm số lồi trên (-∞; -1) Đồ thị hàm số lâm trên (-1;-∞)

Nhận I(-1, ) làm điểm uốn

+ Bảng biến thiên

x -∞ -1- -1+ +∞ y’ + 0 - 0 + y C§ +∞

-∞ CT

§å thÞ:

2. Xét phương trình : trên [0; 2]

§Æt

0.5

0,5

0.5

0.5

3 7 2 3 x y 2 3

    x x

  



  

       

3 1

3 1 0 2 2 ' 2 '

x

x y x x y

3  3

3 3

3 3

.1 0 ; 2 2 '' ''        x y x y

3 7 

        y Lim y Lim x x ;

3 3

0 3 1 2 2 3

2 3

     m x mx x

.2 2 ) ( ;0 3 1 2 2 3 ) ( 2 ' 2 3

         mx x x f m x mx x x f

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Phương trình: luôn có hai nghiệm trái dấu x1<0<x2

Lại do nên : x1<0<x2<2

+ Ta có bảng biến thiên:

x -∞ x1 0 x2 2 +∞ f’ 0 - 0 +

f

cã:

+ VËy

+Do

§S :

Bài 2:

1./ §K :

+ Phương trình đã cho

+§Æt

+ Với thỏa mản điều kiện

2.ĐK: x>0 +Phương trình đã cho

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0 ) ( '  x f

) 6 5 ;0 ( 0 ) 2 ( ). 0 ( ' '    m f f

  



 





  

      

   

0 3 5 2 ) 2 (

) 6 5 ;0 ( ]; 2;0 [ 0 ) ( ) 6 5 ;0 (

0 3 1 2 ) 0 (

m f

m x x f m

m f

3

10 4 | ) 3 1 2 ( 3 12 [ ) 3 1 2 2 3 ( 2 0

2

0

2 3 4 2 3              

m x m x mx x dx m x mx x s

) 6 5 ;0 ( 2 1 4 3

10 4 4        m m S

2 1  m

  

 



1

0 cos tgx

x

)1 .( ) 3 ( 5 ) 2 .( 1 .3      tgx tgx tgx

2 0 ) 5 3 ).( 2 (

0 ) 2 ( 0 1 2     

   

     t t t t

t t tgx

) ( 3 2 Z k k x tg tgx t           





 

       ) 2 ( ) 3 ( log 2 log

)1( log 2 0 )) 3 ( log 2 )(log log 2 (

7 2

2 7 2 2 x x

x x x x x x

DeThi.edu.vn