Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

§Ò thi chän häc sinh giái líp 12

Môn: Toán Thời gian: 180 phút

Câu1: (6 điểm)

Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M1 và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2. c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M3 và M4. Câu 2: ( 5 điểm)

Giải các phương trình sau: a) tgxsin2x - 2sin2x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1)

b) = (2x2 – x +1)2x (2) Câu 3: ( 4 điểm)

TÝnh tÝch ph©n sau:

I =

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O.

2 4 X

dx x x

x  

2

0

3 3 cos sin

sin



DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12

Môn: Toán

Câu 1: ( 6 điểm)

a) ( 2 điểm)  TXĐ: D =R (0,25®)  Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 8x + 4

y’ = 0 <=> x = -2; x= -

Hàm số đồng biến (- ; -2) , nghịch biến (0.25).

 Cực đại, cực tiểu:

Cực đại tại :) xCĐ = -2; yCĐ = 1.

Cực tiểu tại: xCT = - ; yCT = -

Giới hạn ; (0.25®)

 Tính lồi lâm và điểm uốn:

y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= -

Hàm sô lồi từ (- ), lâm (- ; + )

Điểm uốn: I(- ) (0.25®)

 Bảng biến thiên: (0,5®) x - -2 - - +

y’ + 0 - - 0 +

y 1 +

-

 Đồ thị (0,5 ®)

3 2

 ) ; 3 2 (    ) 3 2 ;2 (  

3 2

27

5

    x

y lim     y xlim

3 4

3 4 ;  3 4 

27 11 ; 3 4

 3 4

3 2 



27 11

 27

5 

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

b) ( 2điểm)

Gọi d qua M có hệ sô gọc k :

d: y=k(x-x0) + y0 (0,25®)

Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương trình: x3 + 4x2 + 4x +1 = k(x-x0) + x03 + 4x02 + 4x0 +1

<=> x=x0 (0, 5 ®) x2 + ( 4 + x0)x + x02 + 4x0 + 4 – k = 0 (1) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) => x1, x2 lần lượt là hoành độ của M1, M2 =>

xI = - (0,75 ®)

yI = y0 + k( )

I x =

Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=>

f(x0)

k > (0,5)

k

b) ( 2®)

Để thỏa mãn YCBT:

2

4 0  x

2

4 3 0  x

 2

4 0  x

0  

0 

4

8 3 0 2 0 x x 

4 8 0 2 0    x x

4

2

-2

-4

-6

-5 5 A

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

<=> y’ = 3x2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25®)

<=> a> - (0,25®)

Nhận xét: x3 + 4x2 + 4x + 1 = (3x2 + 8x +4)( )- (0,5®)

Gäi M3(x3; y3), M4(x4; y4)

y3 = a( (0,5®)

y4 = a( )-

Vậy phương trình đường thẳng đi qua M3; M4 là:

y= a( ) + (0,5®)

Câu 2: (4 ®)

Đ/K : x (0,25®)

Chia 2 vÕ của phương trình cho cos2x (1) <=> tg3x -2tg2x = 3(1-tg2x+tgx) (1®)

<=> tgx=-1 <=> x=- (k ) (0,5®)

tgx= x= (k ) (0,5®)

Vậy nghiệm của phương trình :

x=- (k )

x= (k ) (0,25®)

a) (2) <=> (0.5®)

Đặt 2x2 – x = t (t ) (0.25®)

Phương trình trở thành: <=> Khảo sát f(t) = (0.25®)

f’(t) = 2tln2 – 1 =0 <=> 2t = =

3 4

9 4 8  x

9

7 8  x

9

7 8 ) 9 4 8

3 3    x x

9 4 8

4  x

9

7 8 4  x

9 4 8  x

9

7 8  x

 ) ( 2 z k k   

  k  4 z 

3    k  3 z 

  k  4 z 

  k  3 z 

1 2 2 2 2 2     x x x x

8 1  

1 2  t t

0 1 2   t t

1 2  t t

2 ln

1 

DeThi.edu.vn