Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Lê Việt Cường (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đề thi học sinh giỏi lớp 12

( Thêi gian 180 phót)

Giáo viên:Lê Việt Cường

Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2:(5 điểm) Cho phương trình a) Giải phương trình khi m = 12 b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 3: (4 điểm) Tính

Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2

Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4. CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi

m1+m2+m3+m4 =

  x x m x x x       4 5 12

x

x x Lim

x

1 100 1 . 10 1 2006 2005

0

  

 

3 16R

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

hướng dẫn sơ lược toán HSG12

1b) Phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0

(x-2m)(x2-3x-m)=0

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt

2m

Bài 2:( 5 ®) a)(2 ®) Từ điều kiện 0 VP

VT + phương trình có nghiệm x=4 b). (3 ® ) Phương trình đã cho f(x) = (2) Xét hàm số f(x) trên [0;4] f(x)=f1(x)f2(x) với

f1(x) = cã f’1(x) = >0

f1(x) trên [0;4] và f1(x) 0 x [0;4]

f2(x) = cã f’2(x) = >0

f2(x) trên [0;4] và f2(x) 0 x [0;4] f(x) trên [0;4] Min[o;4] f(x) = f(0) = và Max[o;4] f(x) =12 Từ đó (2) có nghiệm Min[o;4] f(x) m Max[o;4] f(x) m 12 là điều kiện để (1) có nghiệm Bài 3:( 5 ®)

Trước hết ta chứng minh: a 0, n N, n 2 thì

Đặt y = khi đó x 0 thì y 1 và

(2 ®)









  



) 2 ( 0 3

2

2 m x

m x

x

  

 

 



 

   

 

   

   

4 9

4 7 ,0

0 4 9

0 2.3 2

2

m

m m

m

m m m

   4 x  12 ) 4 4 4 5 ( 12    

 4 4 12 12 4   

    m x x x x x       4 5 12

12   x x x

12 2

1

2   

x x

x x

   

x x    4 5

x x

x x

x x  

       



4 5 2

5 4 4

4 2

1

5 2

1

   

 

   4 5 12 

  

   4 5 12   

   n a x ax n

xLim   

 

1 1

0

n ax  1  

  n a

y

y a y x ax

y y Lim y Lim Lim n y n y

n

x    

  

   

       )1 ....

1

1

1 1 1

( 1 1 1 0

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Ta cã:

=

=

= (3 ®)

Câu 4: Phương trình đã cho

xét hàm số y= với x>0, Minf(x) = 3 với x=1

y= g(x)= với x>0, Maxf(x) =3 với x=1 Phương trình đã cho có nghiệm x=1. Bài 5:( 4 ®) Gọi O và G lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm tứ diện

Ta cã:

Mặt khác: 4R2 = (1 ®)

4R2 = 40G2 +GA2+GB2+GC2+GD2 (1 ®)

mà GA2 = , GB2 = ,GC2 = ,GD2 =

4R2 = 40G2 +

4R2 (1 ®)

Theo B§T “ Bunhiacopxki” ta cã

R2 ( 1 ®)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : Tứ diện ABCD đều (1®)

x

x x Lim

x

1 100 1 . 10 1 2006 2005

0

  

 

x

x x x x Lim

x

1 100 1 10 1 100 1 . 10 1 2006 2006 2006 2005

0

      

 

x

x x

x x Lim Lim

x x

1 100 1 1 10 1 100 1

2006

0

2005 2006

0

    

  

   

   

2006 . 2005

220560 2006

100 2005

10  





 

   



x x Log x x

x

x

2 2

3 2 1

0





 

   



32

2 1

0

2

x x x

x

x

x

x

x x 1 2  

32

2x x





 

   

   

O GD GC GB GA

R OD OC OB OA

2 2 2 2 2

     GD OG GC OG GB OG GA OG       

2 2 2 2



m

2 1 16

9 m

2 2 16

9 m

2 3 16

9 m

2 4 16

9

   m m m m

2 4 2 3 2 2 2 1 16

9   

    m m m m

2 4 2 3 2 2 2 1 16

9   

  ) ( 4 4 3 2 1 4 3 2 1

2 m m m m m m m m       

      m m m m m m m m 4 3 2 1

2 4 3 2 1 256

9 64

9       



3 16

4 3 2 1

R m m m m    

   

   

m m m m

G O

4 3 2 1

DeThi.edu.vn