Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

§Ò thi häc sinh giái líp 12 THPT

MÔN TOÁN (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề).

Bài 1: (4 điểm)

Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x=2 ta có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). (Đại học ngoại thương khối A năm 2000). Bài 2: (4 điểm).

1. TÝnh I= dx.

2. Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1.

Tìm m để f(x) có tập xác định là R. Bài 3: (4 điểm).

Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1. Bài 4: (2 điểm).

Giải hệ phương trình:

Bài 5: (4 điểm).

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy M trong đoạn AD', N trong

đoạn BD với AM=DN=x, (0<x<a ).

1. Chøng minh víi x= th× MN ng¾n nhÊt.

2. Khi MN ngắn nhất chứng minh: MN là đoạn vuông góc chung của AD' và DB. Bài 6: (2 điểm).

Cho x,y,z Chøng minh:

  

3

0

2 3 x x 2 x

 

 



 

 

 

1 x z

1 z y

1 y x

2

3

2 a

       2 ; 6

2

2 1 1 y sin

x sin z sin x sin

z sin y sin z sin

y sin x sin            

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Đáp án Đề thi Học sinh giỏi lớp 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài

C©u Néi dung §iÓm

Bài1 (4điểm)

1 (2điểm)

Tập xác định: . Chiều biến thiên: y'=3x2-12x+9 y'=0 x=1, x=3 Hàm số đạt cực đại tại x=1, y=3 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3, y=-1 Tính lồi lâm và điểm uốn y''=6x-12 Hàm số lồi (

Hàm số lâm (2,+ ) Điểm uốn x=2, y=1 limy=+ ; limy=- x->+ x->- Bảng biến thiên

Đồ thị: x=0 =>y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ chính xác đẹp

x - 1 3 + y' + 0 - y'' 3 + - -1

0,5

0,5

0,5

0,5

x 



x  ) 2,   x  

   

 

 

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2 (2điểm)

Xét A(2,a) trên đường x=2. Tiếp tuyến tại A có phương trình là: y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1  2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1) Số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A Xét g(x)= -2x3+12x2-24x+17 g'(x)=-6(x-2)2  g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (- ,+ ) do đó phương trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất Vậy từ một điểm bất kỳ trên x=2 luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (1)

0,5

0,5

0,5

0,5 1 (2điểm) I= dx = dx

= dx + dx

= dx - dx+ dx - dx

= +

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 2 (4điểm)

2 (2điểm)

Ta chØ cÇn mx2-2(m-2)x+2m-1>0 R

Khi

 =>m >1

Vậy m>1 thì f(x) có tập xác định R

0,5

0,5

0,5

0,5

0  x 

 

 

3

0

2)1 x ( x 

3

0

x 1 x 



1

0

x   x 1  

3

1

x   1 x 



1

0

2 1 x 

1

0

2 3 x 

3

1

2 3 x 

3

1

2 1 x

15

8

5

3 8

x 

  

    



0 4 m 3 m

0 m

2 '













 



1 m

4 m

0 m

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 3 (4điểm) Điều kiện sinx -1, x - (k Z)

§Æt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey

ta cã hÖ

Lấy (1) trừ (2) ta có phương trình esinx – ey = y-sinx

Nếu sinx > y thì esinx > ey Phương trình không có nghiệm Nếu sinx < y thì esinx < ey Phương trình không có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm khi sinx=y thay vào (2) ta có: esinx=sinx+1 (3)

Xét f(x)= ex-x-1 với x -1 f'(x)= ex – 1=0  x=1 Vậy phương trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k (k Z)

0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5

0,5 Bài 4 (2điểm)

Ta có điều kiện x,y,z

Nếu (x,y,z) là một nghiệm của hệ gọi x= min(x,y,z) thì x y,x z (4)

 z 1+ =x =>z x VËy z=x

x y => =>1+ 1+

 z y (5)

Từ (4) và (5) ta có x=y=z nên x=1+ => x=y=z=

0,5

0,5

0,5

0,5

     2 k 2 



 

 

 

) 2 (1 x sin e

)1(1 y e

y

sinx



 

 

 



 

 

 

) 3 ( x 1 z

) 2 ( z 1 y

)1( y 1 x

1 

   y 

 x  y x  z 

x 2

5 3 

DeThi.edu.vn