Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Khối 12 (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1

đề thi học sinh giỏi khối 12

Môn: toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm)

Cho hàm số: và điểm M có hoành độ xM = a. Với giá trị

nào của a thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M. 2. Tìm m để phương trình (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) – 2m +1 =0 Có nghiệm thoã mãn: x2 +6x + 7 0 Câu 2: (4 điểm) 1.Tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn [-1; 2] biết f(0) = 1 (1) và f2(x).f’(x) = 1+ 2x +3x2 (2)

2.

Câu 3: (4 điểm)

1. Giải phương trình :

2. T×m:

Câu 4: (4 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a, các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy một góc . Xác định để thể tích hình chóp lớn nhất. 2. Tính các góc của biết

Câu 5: (4 điểm)

1. TÝnh:

) ( 2 5 3 2

2 4

C x x y    ) (C 



8 1 ) ( ) (

3 cos . cos 3 sin . sin

3 6

3 3

   



  x tg x tg

x x x x

)3 2 ( log ) 2 2 ( log 2 3 2 2

3 2 2        x x x x

) 3 2 ( lim 3 2

x x x x x x

  

 



 cos

ABC 

2 3 2 sin 2 sin 2 3 sin      B A C A A

    

2

0

2) 1( ln



dx e tg I x x

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2

2. Trên trục toạ độ Oxy: Cho parabol (P): và đường thẳng : 3x – 4y +

19 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc với parabol (P)

-------------------hết--------------------- Họ tên thí sinh: ................................................. Số báo danh: ............................

16

2 x y   ) (

) (

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3

ĐÁP ÁN

Câu 1: (4 điểm)

1> §iÓm M , xM = a ---> ta cã Pt tiÕp tuyÕn víi (C) cã

dạng

: víi

=>

Hoành độ giao điểm của và (C) là nghiệm của phương trình

Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a

Vậy giá trị a cần tìm

2> pt <=> (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 2m – 1 <=> (x2 + 6x +5)(x2 + 6x + 8) = 2m – 1 §Æt t = x2 + 6x +5 = (x + 3)2 – 4 -4

Do x2 + 6x +7 0 <=> x2 + 6x +5 -2 => t -2

Bài toán trở thành tìm m để pt: f(t) = t(t+3) = 2m-1 có nghiệm t <=> số giao điểm của đồ thị f(t) = t2 + 3t và đường y = 2m – 1 vẽ trên đoạn [-4; -2] <=>

<=>

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

) (C  2 5 3 2

2 4

   a a yM

) ( M M x y x x y y

M    ) ( ' a a yM 6 2 3 '  

) ( 2 5 3 2 ) )( 6 2 ( 2 4 3       a a a x a a y

) (

0 ) 6 3 2 ( ) ( 2 5 3 2 ) )( 6 2 ( 2 5 3 2

3 2 2 2 4 3 2 4

              a ax x a x a a a x a a x x

 



    

 

0 6 3 2 ) ( 2 2 a ax x x g

a x



 

 

  

 



   

 

  

     

1

3

1

0 3

0 6 6 ) (

0 ) 6 3 (

2

2

2

2 2 '

) (

a

a

a

a

a a g

a a x g



 

 



1

3

a

a



  

  2 ;4   

4 1 2 2     m

2 5 2 1    m

4

-4

-2

-2

o t

f(t)

y= 2m - 1

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4

Vậy để phương trình có nghiệm thì

Câu 2: (4 điểm)

1> Từ (2): f2(x)f’(x) = 1 + 2x + 3x2 <=> (c là hằng

sè)

0,5 ®

0,5®

+ Từ (1) : f(0) = 1 => c = , do đó hàm số

XÐt g(x) = 3x3 + 3x2 + 3x + 1 víi x [-1; 2]

g’(x) = 9x2 + 6x + 3 = 0 <=> là các điểm tới hạn

g(-1) = 2, g(2) = 40, g(- ) = => max(g(x)) = 40, min(g(x)) = - 2

Do đó GTLN của f(x) là và GTLN của f(x) là

2> §K:

Do

Ta được phương trình

Nghiệm (loại vì )

Nghiệm t/m các đk bài toán

Câu 3: (4 điểm)

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

0,5®

2 5 2 1    m

  c x x x x f     3 2 3

3

) (

3 1 3 2 3 1 3 3 3 ) (     x x x x f



] 2;1 [

3 1 1

   





 

 

x

x

3 1

9 2

3 40 3 2 

) 0 3 ( ;0 ) 6 ( ;0 ) 3 cos( ,0 ) 6 cos(             x tg x tg x x

)1 3 ( ). 6 ( ) 6 ( cot ) 3 ( 2 cot ) 3 (                       x tg x tg x g x g x tg

2 1 3 cos ) 3 cos cos 3 ( 3 sin ) 3 sin sin 3 ( 8 1 3 cos . cos 3 sin . sin 3 3        x x x x x x x x x …