Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 THPT (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

(Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề)

MÔN THI: TOÁN

Bài 1. ( 2 điểm) Cho hàm số f(x) =

Chứng minh rằng = f’(0).

Bài 2. ( 2 điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền

khi quay quanh trục oy. Bài 3. ( 2 điểm) Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2  0 có nghiệm x(1;2). Bài 4. ( 2 điểm)

Giải và biện luận phương trình: 4x+1+2(m-1)x-1=(m+1) theo tham số m. Bài 5. ( 2 điểm)

Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = -

Bài 6. ( 2 điểm) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:

thì đều.

Bài 7. ( 2 điểm)

Tìm giới hạn:

Bài 8. ( 2 điểm) Giải và biện luận theo m bất phương trình:

Bài 9. ( 2 điểm)

Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): và đường tròn (C): x2+y2=9.

1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C).

xdx x sin 1

4

4

2 









1 3 4 2  x x

2 1

3 2 2 3 sin

1 sin

1 sin

1 cos cos cos        C B A C B A

x

x

x 2 sin

1 3 lim 2 0

2 



)3 ( log ) ( )1 (

3 1 2       x m x m x m x

1 9

2 2

 y x

x2sin 2 1 x khi x0

0 khi x=0

y=x2-6x+5 y=0

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Bài 10. ( 2 điểm)

Cho elip (E): và hai đường thẳng (d1): x-ky=0, (d2): kx+y=0. (d1) cắt

elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD.

MÔN THI : TOÁN

Bài 1 2 điểm

f’(0)=

vì -∆x ∆x sin ∆x và (-∆x)= (∆x)=0

  f’(0)=0 (1)

Mặt khác:

Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=-/4 thì t=/4, với x=0 thì t=0

0,25

0,25

0,50

0,25

0,25

1 4

2 2

 y x

2 0

2 2

0

1 sin lim

1 sin lim x x x

x x

x x    

 

   

2 1

x  0 lim

 x 0 lim

 x

0 1 sin lim 2 0      x x x

  



4

4

2 sin 1





xdx x   



0

4

2 sin 1



xdx x  

4

0

2 sin 1



xdx x

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 - +

= (2)

Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh.

0,25

0,25

Bài 2 2 điểm

Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5 Cung AB có phương trình x =

Cung BC có phương trình x =



= 64

0,5

0,5

0,5

0,5

Bài 3 2 điểm Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 <0, x(1;2)

 m(x2+x+1)<2  m< x(1;2)

Xét g(x) = x(1;2), g’(x) = hàm số nghịch biến

trong khoảng (1 ;2).

 m  Min

Vậy m > thì bất phương trình có nghiệm x(1;2).

0,5 0,5

0,5

0,5 Bài 4 2 điểm

  



4

4

2 sin 1





xdx x     

0

4

2 sin 1



dt t t   

4

0

2 sin 1



xdx x

  

4

0

2 sin 1



tdt t   

4

0

2 sin 1



xdx x   

4

0

2 sin 1



xdx x 0 sin 1

4

0

2   



xdx x

3 4   y

3 4   y

   

 

     

0

4

2 0

4

2 ) 3 4 ( 3 4 dy y dy y Voy  

2 3 0

4

) 4 ( 8 4 12      

y dy y   

0

4

1 2

2  x x

1 2

2  x x    

  0 )1 (

)1 2 ( 2

2 2 x x

x

  7 2 ) (

2 ;1  x g

7 2

x1

x 4 1 

-4

5 3 1

C

B

A O

y

x

DeThi.edu.vn