Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đề xuất ngân hàng đề Đề thi Học sinh giỏi THPT - Môn Toán

----------------o0o-------------- Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5). d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến. Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Câu 3: (4 điểm)

a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

.

b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x.

1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1. Câu 4: (2,5 điểm)

a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:

.

b) Tính tích phân: .

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho 2 elíp (E1): , (E2): và parabol (P): y2 = 12x.

a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên. b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P). Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc

với đáy và SA = . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM  MD. Tính tỉ số .

---------

3 cosx cos x (7 5 2) (17 12 2) cos3x    

2 4 2 3 x 3x 1 x x 1 3     

2 2 m 1 m 7 log 11 log ( x mx 10 4)log (x mx 12) 0       

3 3 1 ax cosx vớix 0 f(x)

ln(1 2x) b 1 vớix 0

          

1 5

2 2

4 2 x 1 5 2

x 1 I dx (x x 1)(1 2006 )



 

     

2 2 x y 1 15 6  

2 2 x y 1 6 15  

a 3 SM

SB

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đề xuất ngân hàng đề Đáp án đề thi Học sinh giỏi THPT – Môn Toán

----------------o0o--------------

Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.

+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa.

Câu ý Nội dung điểm 1 1a - Tập xác định: D = R. - Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0  .

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (0; +); hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0). + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5). + Giới hạn:  đồ thị hàm số không có tiệm cận.

+ Tính lồi lâm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0  x = -1.  Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-; -1), lâm trên khoảng (-1; +) và có điểm uốn là (-1; 3). + Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + y’ + 0 - - 0 + 5 + y 3 - 1 - Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5). Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng.

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

1b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)

x 0 x 2    

xlim y

 

y

5

3

1

-3 -2 -1 0 1 x

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a  số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = a, từ đồ thị ë câu a ta có: - Phương trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1. - Phương trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1. - Phương trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5. Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1  f(m) cũng có đồ thị là (C), nên từ đồ thị ë câu a ta có: - a > 5  m > 1; a = 5  m = 1 hoặc m = -2 - a < 1  m < -3; a = 1  m = -3 hoặc m = 1. - 1 < a < 5  -3 < m < 1 Vậy ta có: + Với m > 1 hoặc m < -3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm. + Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì phương trình (1) có 2 nghiệm. + Với -3 < m < 1 và m  -2, m  0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

0,25

0,25

0,25

0,25

1c Gọi phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng:

y = k(x – 1) + 5  y = kx + 5 – k. Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:

.

 Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là: y = 5 và y = 9x – 4.

0,25

0,50

0,25

1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đường thẳng y = 9x – 4.  Đường thẳng đi qua M có phương trình dạng: y = k(x – x0) + 9x0 – 4.

 Ta có: .

Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm  phương trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt: (x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0.

Từ đó ta có …