Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Bảng A-B (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Kú thi häc sinh giái líp 12

Môn: Toán. Bảng A-B (Thời gian làm bài 180 phút)

Câu I. (5 điểm). Cho hàm số

1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.

2, Chứng minh đường thẳng (d): có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó

kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó. Câu II. (4 điểm).

1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình

Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để lớn nhất.

2, Giải phương trình:

Câu III. (5 điểm) 1, Đường thẳng (d) cắt Parabol (P): tại hai điểm phân biệt A, B lần lượt có hoành độ x1; x2 giả sử x1<x2 và AB=2. Tìm x1; x2 để hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng (d) và Parabol có diện tích lớn nhất. 2, Tam giác ABC không có góc tù và . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Câu IV. (4 điểm)

1, Tính đạo hàm của hàm số: tại x=0

2, Hình chóp đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Mặt bên hợp với đáy

góc α, . Chứng minh ( với r, R lần lượt là bán kính mặt cầu nội

tiếp, ngoại tiếp hình chóp). Câu V. (2 điểm). Qua đường cao hình tứ diện đều dùng một mặt phẳng cắt ba mặt bên tứ diện theo ba đường thẳng tạo với đáy tứ diện lần lượt góc α, β, γ. Chứng minh: .

1

2 2 2



   x

x x y

1 1 2   y x

  

 

 

x y x

m my x

2 2

2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( y y x x P    

x

x

x

x

x 1 2 1 2 2

2 2

2 2 1 1

  

 

3 2 2     x x y

C B A sin sin sin 2 2  



 



  



0 .. . .......... .......... 0

0 .. ..... 1 3 cos cos

x neu

x neu x e y

x x

    90 0  3 1  R

r

2 2 2 2       tg tg tg

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

đáp án tháng điểm

§Ò thi häc sinh giái líp 12

(Gồm có: 6 trang) Câu ý Nội dung điểm I 1 2,5 a. TXĐ: R\{1}

b. SBT: y’ = 1- = 0 <=> x = 0; x = 2

yCĐ = y(0) = - 2 yCT = y(2) = 2  Do hàm sốđồng biến trong khoảng (-; 0) và (2; +); nghịch biến trong khoảng (0; 1) và (1; 2).

0,5

 Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 do  Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1 do

=

0,5

 Giới hạn:

BBT:

0,5

c. Đồ thị Như hình vẽ. Nhận điểm làm tâm đối xứng

0,5

I. 2. Chứng minh trên đt (d) ......... 2,5

2)1 (

1  x



 

   

 

  )1 ( 1

2 2 lim

2

x x

x x

x 



 

      1 1 lim x x





 

   

 

  1

2 2 lim

2

x

x x

x

  0;1

x -  0 1 2 y' + 0 - - 0 + y

- 

2

- 

+

2

+

y

x 2 1 -1

-2

2

x =1

y=x -1

O

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 Gọi điểm M thì toạ độ M

 Gọi k là hệ số góc đt đi qua M thì có phương trình dạng: y = k(x – x0) + x0 - 2

0,5

 Đt là tiếp tuyến của (P) thì hệ phương trình:

cã nghiÖm x0 1

0,5

Biến đổi (1) ra dạng: x -1 + = k(x – 1)+ k(1 – x0)+

(1’)

Và thay k vào (1’) , ta có:

x -1 + = (x – 1)+ k(1 – x0)+ .

<=> = (3)

0,5

Thay (3) vào (2) ta có: 4k2 (1 – x0)2 + 4k [(x0 – 2)(1 – x0) + 4] + (x0 – 2)2 – 16 = 0 (4)  Qua M kẻ 2 đt vuông góc tới (C) nên phương trình (4) phải có hai nghiệm k1; k2 và k1.k2 = -1.

 §K

0,5

<=> <=>

 Hai điểm M1 ; M2

0,5

II 4,0 1. Biện luận số nghiệm hệ phương trình: ....... 2,0

 Xét pt: x2 + y2 = x <=> (x - )2 + y2 = là pt của đường tròn tâm

   d y x  0 0;



 

    2

2 1 2

0 0 0

0

x x y

x

   

 

  

 



  

      

) 2 ( )1 (

1 1

)1( 2

2 ) ( 1 1 1

2

0 0

k x

x x x k x x

1 1

 x

2

2 0  x

1 1

 x   



  



  2)1 (

1 1

x 2

2 0  x

1 1

 x 4

2 )1 ( 2 0 0    x x k

 

 



  

 

 

1 ) 1( 4

16 ) 2 (

0 1

2 0

2 0

0

x

x

x



 

  



0 8 12 5

1

0 2 0

0

x x

x

   





 

 

5

76 6

5

76 6

2

1

x

x

 

  

  

10

4 76 ; 5

76 6

 

  

   

10

76 4 ; 5

76 6

2 1

4 1

DeThi.edu.vn