Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Ngô Quốc Khánh (Có đáp án)

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1

§Ò thi häc sinh giái 12

(Thời gian làm bài 180’)

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng

thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị

hàm số.

Câu 2: Giải hệ phương trình.

x+y =

y + z =

z + x =

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2 =

4x. M là một điểm di động trên (P). M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT

vuông góc với OM.

a. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một

điểm cố định.

b. Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên 1

pa ra bol cố định .

Câu 4: Giải phương trình sau:

sinx + siny + sin (x+y) =

Câu 5: Cho dãy số In = , nN*

TÝnh In

C©u 6: Cho 1  a > 0, chøng minh r»ng.

<

Người ra đề :Ngô Quốc Khánh

Trường PTTH Lam Sơn

1 4  z

1 4  x

1 4  y

2

3 3







n

n

dx x

x 4

2

cos

  nlim

1 ln

 a

a

3

3 1

a a

a  

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2

Đáp án

Câu 1: (3 điểm )

Tập xác định: D = R y = x4 - 6x2 + 4x + 6.

y’ = 4x3 - 12x + 4 y’ = 0 <=> g(x) = x3 - 3x + 1 = 0 (1)

Ta có g(x), liên tục g(-2) = -1, g(-1) = 3, g(1) = -1 , g(2) = 3

g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

- 2 < x1 < -1 < x2 < 1 < x3 < 2

* Ta cã y = y’.x- 3.(x2 - x - 2) (1)

Gọi các điểm cực trị là A (x1,y1), B(x2,y2), C (x3,y3) và G (x0,y0) là trọng tâm tam

giác ABC.

Theo §L Viet cã x1 + x2 + x3 = 0 (2)

x1x2 + x2x3 = x3x1 = -3 (3)

Tõ (2) suy ra x0 = = 0

Tõ (1) (2) (3) suy ra:

y0 = (y1+y2+y3) = -3 ( )-(x1+x2+x3) - 6

= -3 (x1 + x2 + x3)2 - 2 (x1x2 + x2x3 + x3x1) - 6 = -3 (0 - 2 (-3) - 6) = 0

VËy G (0;0)  0(0;0) (§PCM)

Câu 2: ( 2 điểm)

x+y = (1)

y + z = (2) (I) đk x,y,z >

z + x = (3)

áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:

< = 2z (1’)

Tương tự < 2x (2’) < 2y (3’)

Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra.

2(x+y+z) = < 2z + 2x + 2y (4)

0 2) 1).g( g(

0 1) g(-1).g(

0 1) 2).g(- g(-













4 1

3

3 2 1 x x x  

3 1 2 3 2 2 2 1 x x x  

1 4  z

1 4  x 4 1

1 4  y

1 ). 1 4 ( 1 4    z z 2

1 )1 4 (   z

1 4  x 1 4  y

1 4 1 4 1 4      y x z

DeThi.edu.vn

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3

Tõ (4) suy ra:

4z - 1 = 1

(I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z = nghiệm đúng (I)

4y - 1 = 1

VËy hÖ (I) cã nghiÖm x = y = z =

C©u 3: (P): y2 = 4x

a. (3điểm ) Giả sử ; với y1,y2  0; y1  y2.

OTOM 

 y1 . y2 + 16 = 0 (1)

Phương trình đường thẳng MT:

 4x - = (y1 + y2). (y-y1)

 4x - (y1 + y2) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y1 + y2) y= 0

Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)

b. (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì

x0 = (1)

y0 = (2)

Tõ (1) suy ra x0 = (y1+y2)2 - 2y1y2 = (2y0)2 - 2 (-16)

= .  = 2x0 - 8

Từ đó  I chạy trên parabôn (P) : y2 = 2x = 8 cố định .

Câu 4: (3 điểm)

sin x + sin y + sinz (x+y) = (1)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có .

2 1

2 1

y ; 4 y M 1

2 1

 

  

 y ; 4 y

2

2 2  

  

 T

0 .y y 4 y . 4 y 0 OM . OT 2 1

2 1 2 1    

y - y

y - y

4 y - 4 y

4 y - x

1 2

1 2 1 2 2

2 1



2 1 y

  y y 8 1 2 2 2 1 

2

y y 2 1 

8 1

8 1

2 1 4 2 0  y 2 0y

2

3 3

DeThi.edu.vn