Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2,5 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số     3 2 2 1 1 3 8 3       y x m x m x m

đồng biến trên khoảng   0;3 .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 2 3 3 1     y x mx m có điểm

cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối xứng với nhau qua đường thẳng 2 1 0   x y .

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải phương trình:

2 3 2

2 cos cos 1 cos2 tan cos

    x x x x x .

b) Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, tính xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải tam giác đều. Câu 3 (1,5 điểm).

Giải phương trình:      1 2 4 2 4 1 2 x x x x x x x            .

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,   , , 0 AB a AD b a b    , SA

vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và 2  SA a . Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh SA sao cho AM x  với 0 2 x a   . a) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) MBC .

b) Xác định x để mặt phẳng ( ) MBC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích

bằng nhau. Câu 5 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm   1; 1 D  , đường thẳng IG có phương trình 6 3 7 0 x y    và điểm E có

hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 6 (1,0 điểm).

Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn   1;9 và ,   x y x z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 1 10 2 y y z P y x y z z x            

.

---------------Hết----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….………..…….................…….….….; Số báo danh:……….....……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015-2016

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN - THPT

(Hướng dẫn chấm có 05 trang) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

    3 2 2 1 1 3 8 3       y x m x m x m đồng biến trên khoảng   0;3 .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

3 2 3 3 1     y x mx m có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đó đối

xứng với nhau qua đường thẳng 2 1 0   x y .

2,5

a TXĐ:

    2 ' 2 1 3 y x m x m     

Do phương trình ' 0 y  có nhiều nhất hai nghiệm trên , nên để hàm số đã

cho đồng biến trên khoảng   0;3   ' 0, 0;3 y x   

0,5

 

2 2 3 , 0;3 2 1 x x m x x       .

Xét hàm số 

2 2 3 2 1 x x g x x     trên khoảng   0;3



 

  

2

2

1 2 2 4 ' ; ' 0 2 2 1

x x x g x g x x loai x

        

0,5

BBT

x 0 1 3  ' g x  0 

 g x

3 2

18

7

Từ BBT,    , 0;3 2 g x m x m    

Vậy, 2 m  thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   0;3 .

0,5

b TXĐ:

2 0 ' 3 6 ; ' 0 2

x y x mx y x m

      

. Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu 

phương trình ' 0 y  có hai nghiệm phân biệt 0 m  

0,5

DeThi.edu.vn