Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Phúc (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN – THPT chuyên. Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Ngày thi: 02/11/2012.

Câu 1 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình ( )

2

2

2

8 3 2 5 1

8 3 2 5 1 , ,

8 3 2 5 1

x x y y

y y z x y z z

z z x x

 + + = − −    + + = − − ∈    + + = − − 

ℝ

Câu 2 (1,5 điểm). Cho , , , a b c d là các số thực dương. Chứng minh rằng

( )( ) ( ) ( )

3

3 4 3 3 2 25 2. 3. 4. 6 81

a bc b d a b c a b a b c d a b a b c d + + ≤ + + + + + + + + + +

Câu 3 (2,0 điểm). Giả sử n là một số nguyên dương sao cho 3 2 n n + chia hết cho 7. Tìm số dư của

2 2 11 2012 n n n + + khi chia cho 7 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD. Gọi P là điểm sao cho trung trực của đoạn thẳng CP chia đôi đoạn AD và trung trực của đoạn AP chia đôi đoạn CD. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BP. a) Chứng minh rằng đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC. b) Chứng minh rằng 4. BP OE = , trong đó E là trung điểm của AC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC . Câu 5 (1,0 điểm). Cho m, n ( ) 4 m n > > là các số nguyên dương và A là một tập hợp con có

đúng n phần tử của tập hợp { } 1,2,3,..., S m = . Chứng minh rằng nếu ( )( ) 2 3 4 1 1 n n n m n C C C > − + + + thì ta luôn chọn được n phần tử đôi một phân biệt

1 2 , ,..., n x x x S ∈ sao cho các tập hợp { } , , 1, i i A x y x x A y A i n = + + ∈ ∈ = thỏa mãn

j k A A = ∅ ∩ với mọi j k ≠ và , 1, j k n = . -----------------Hết----------------- - Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh……………..

DeThi.edu.vn

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013

Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó. -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. -Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Câu 1. (2,5 điểm)

Nội dung

Điều kiện: 1 , , 5 x y z ≥ . Xét các hàm số ( ) ( ) 2 8 3 2, 5 1 f t t t g t t t = + + = − −. Khi đó ta có

( ) ( ) 2 8 5 1 ' 2 3 0, ' 0, 5 2 5 1 f t t g t t t t = + > = − − < ∀> − .

Mà ( ) ( ) , f t g t là các hàm số liên tục trên 1 ; 5   + ∞  

suy ra ( ) f t đồng biến trên 1 ; 5   + ∞  

và ( ) g t nghịch biến trên 1 ; 5   + ∞  

. Không mất tính tổng quát ta giả sử { } min , , x x y z = .

Khi đó ta có:

Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y g x g y f z f x z x g z g x f y f z < ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ < ⇒ < suy

ra ( ) ( ) ( ) ( ) y z g y g z f x f y x y < ⇒ > ⇒ > ⇒ > , vô lí vì x y < .

Do vậy x y = , tương tự lí luận như trên ta được x z = suy ra x y z = = . Thay trở lại hệ ta

được 2 8 3 2 5 1 x x x x + + = − − 2 8 3 2 5 1 0 x x x x ⇔ + + − + −= (1).

Đặt ( )

2 8 1 3 2 5 1, ; . 5 h x x x x x x

  = + + − + − ∈ +∞  

Dễ thấy hàm số đồng biến trên

DeThi.edu.vn