Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Tuyên Quang (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TUYÊN QUANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2010-2011

Môn: Toán (Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 01 trang

Câu 1. ( 4 điểm):

a) Giải hệ phương trình:

b) Giải phương trình:

Câu 2. ( 4 điểm):

a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình:

b) Cho n là 1 số tự nhiên. Chứng minh :

Câu 3. ( 4 điểm): Cho dãy số (Un) xác định bởi:

trong đó -1 <a < 0

a) Chứng minh rằng: - 1 < Un < 0 với và (Un) là một dãy số giảm.

b) Chứng minh rằng: với

Câu 4. (4 điểm): Đối với hệ tọa độ Oxy cho 2 điểm A(- 1; 0); B(1; 0) và đường thẳng d có phương trình: ax + by + 1 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình: . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d.

Câu 5. (4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA = a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM = . là mặt phẳng qua OM và vuông góc với (ABCD).

a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng . Tính diện tích thiết diện theo a và x.

b) Xác định x để thiết diện là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.

--------------------------------------------Hết ------------------------------------------------

Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

4 4

3 3

97

78

x y

x y y x

ì + = ïïïíï + = ïïî

2 2 3 5 5 5 7 x x x x     

2 2 2 1 0 x y - - =

2 )1 (

1 ....... 3 4

1

2 3

1 2 1      

n n

1

1 2

1 1 1

n n

n

U a

U U

U +

ì = ïïïï + íï = - ïï + ïî

n " Î ¥

1 2

1 0 1 ( 1) 1 n n U U a + < + £ + +

n " Î ¥

2 2 1 x y + =

2 x ( ) 

( ) 

DeThi.edu.vn

sở giáo dục và đào tạo

tuyên quang

k× thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 12

NĂM HỌC 2010 - 2011

Môn thi: Toán

Hướng dẫn chấm

Câu Nội dung Điểm 1. a) Giải hệ phương trình sau: (I)

Ta có:

(I)

Đặt Từ PT (2) suy ra ĐK:

0,5

là nghiệm của phương trình bậc hai: X2 - 97X - 12168 = 0 X = 169 và X = - 72

0,5

Gíải PT:

được 4 nghiệm: (x; y) = (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) 0,5

Hệ (1) có 4 nghiệm: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; - 2) Tóm lại hệ có 4 nghiệm như trên.

0,5 1. b) Giải phương trình: (1)

Điều kiện:

Đặt Phương trình đã cho trở thành:

0,5

4 4

3 3

97

78

x y

x y y x

ì + = ïïïíï + = ïïî

4 4 2 2 2 2 2 ( ) 2 x y x y x y + = + -

2 2 2 2 2

2 2 ( ) 2 97 (1)

( ) 78 (2)

x y x y

xy x y

ìï + - = ïï Û íï + = ïïî

2 2 ; x y u xy t + = = 0; 0 u t  

2 2 2 2

2 2 ( 2 ) 97 2 97

78 ( 2 ) 12168

u t u t

ut u t

ì ì + - = ï - = ï ï ï ï Û Û í í ï ï = - = - ï ï ïî ïî

2 2 ,( 2 ) u t Þ -

Û

2 2 2 2 2 2

2 2

13 169 ( ) 169

6 36 ( ) 36 6

x y u x y

xy t xy xy

ì + = ïï ì ì = + = ï ï ï ï ï ï ï ï ï = Û Û Û é í í í ï ï ï ê = = ï ï ï ï ï î î ê ï = - ï ê ïî ë

2 2 13 6 x y xy

     

2 2 3 5 5 5 7 x x x x     

2

5 5 2 5 5 0

5 5 2

x x x

x

        

   

) 0 ( 5 5 2     t t x x

DeThi.edu.vn

0,75

0,75

Câu 2. 2.a) Tìm các số nguyên tố x, y là nghiệm của phương trình: (1) Ta có: (1) 0,5

Vì x, y là các số nguyên tố nên có các khả năng sau sảy ra:

1. (thoả mãn)

2. (loại) 0,75

3. (không có nghiệm thoả mãn)

4. vô nghiệm

Thử lại (3; 2) thoả mãn PT. Vậy (3; 2) là nghiệm duy nhất của phương trình.

0,75

2. b)

Giả sử n là 1 số tự nhiên. Chứng minh :

Ta có :

0,5

2 1 3 2 0 2 t t t t

      

2 2

2 2 5 5 1 5 4 0

5 5 4 5 1 0

x x x x

x x x x

                    

1

4

5 21 2

x x

x

         

2 2 2 1 0 x y - - =

2 2 1 2 ( 1)( 1) 2 . x y x x y y Û - = Û - + =

  

 

 

y x

y x

1

2 1

  

   2 3 y x

1 3 1 2 2 x y x x y y             

  

 

 

1 1

2 1 2

x

y x

  

 

 

2 2 1

1 1

y x

x

2 )1 (

1 ....... 3 4

1

2 3

1 2 1      

n n

) 1 1 1 .( )1 (

1 . )1 (

1 . )1 ( )1 (

1

   

        n n n n n

n n n n n n n n

n

n n

1 1 1 1 1 1 1 1 .( )( ) (1 )( ) 2.( ) 1 1 1 1 1 n n

n n n n n n n n n       …