Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN

năm học 2010-2011

Môn thi : TOÁN HỌC Lớp 12

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1

(4 đ )

Giải phương trình:  

2 2 1 2 3 1 x x x x      .

Bài 2

(4 đ )

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 2 2

4 4 2 2 0 x y x y x y A xy y x y x y x              

Bài 3

(4 đ )

Tìm số các số hạng là số nguyên trong khai triển 125 3( 7 3) 

Bài 4

(4 đ )

Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình

1 cos 1 cos 4sin cos x x x x    

Bài 5

(4 đ )

Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là Sb

và Sc. Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB) và

(ADC) cắt BC tại M.  là góc giữa hai mặt (ADB) và (ADC).

Chứng minh:

a/ b

c

S MB MC S 

b/ Diện tích Sm của tam giác ADM là:

b c

m

b c

2S .S .cos 2 S S S



  .

..................Hết....................

DeThi.edu.vn

Họ và tên :..................................................... SBD:.....................................................

Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12 Kì thi chọn HSG năm học 2010-2011 Bài 1 : Đặt 2 2 3 , 2 x x t t     . Khi đó :   

2 1 1 1 x t x         2 2 3 1 2 1 0 x x x t x            2 1 2 1 0 t x t x      

2

1 t t x     

Với 2 t   2 2 3 2 x x    2 2 3 4 x x   

2 2 1 0 x x    1 2

1 2

x

x

 

 

.

Với 1 t x  2 2 3 1 x x x    

2 2 1 0

2 3 2 1

x

x x x x

        

( hệ vô nghiệm).

Bài 2: : Đặt   2 x y t t y x   

 

2 2 2 4 2 2 2 2 5 4 A t t t t t t        Xét hàm số f(t)=A f ’(t)= 4t3 – 10t + 1

2 f ''(t)= 12t - 10 0 t 2    Nên hàm số f ’(t) đồng biến

' ' 2 ( ) (2) 13 0 ( ) t f t f f t       đồng biến ( ) (2) 2 2 f t f t    

' ' 2 ( ) ( 2) 3 0 ( ) t f t f f t      nghịch biến ( ) ( 2) 2 2 f t f t      Vậy ( ) 2 2 f t t    . Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là Amin = -2 đạt được khi t = -2 hay (x + y)2 = 0  x = - y .

Bài 3:

125 125 125 3 3 2 125 0 ( 7 3) 3 7

k k k

k C



   . Do vậy, để số hạng trong khai triển là số

nguyên thì

, 0 125 0 125 0 41 125 125 125 3 2 2 2 3 2 1, 3

k N k m N m N k k m k k m N N N k k m m t t N N

                                                

. Có 21 giá trị của m thoả

mãn nên có 21 số hạng nhận giá trị nguyên.

DeThi.edu.vn

Bài 4 : Điều kiện cosx ≠ 0. Biến đổi dẫn đến 2(cos sin ) 2sin2 2 2 x x x   .

-Với x (0; ) 0 2 2 x       …=>

4 6 3 3 4 10 5

k x

l x

 

 

       

. Chọn được k, l = 0 => 6 3 10

x

x





     

-Với x ( ;2 ) 2 x         …=>

4 6 3 4 2 5

k x

l x

 

 

       

. Chọn được k,l = 1 =>

7

6 13

10

x

x





     

Bài 5 a.Do M nằm trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ADB) và (ADC) bằng nhau, kí hiệu là d. Do đó

b b ADBM

ADCM c c

S .d S V MB dt(DBM) MC dt(DCM) V S .d S    

b. b c ABCD c c c

2S .S .sin 1 1 1 sin V S .BH S .BK.sin S .BK.AD. 3 3 3 AD 3AD

     

ABCD ADBM ADCM V V V  

=>

b m c m b c 2S .S .sin 2S .S .sin 2S .S .sin 2 2 3AD 3AD 3AD

   

Rút gọn được :

b c

m

b c

2S .S .cos 2 S S S



  .

DeThi.edu.vn