Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Bình (Có đáp án)

https://facebook.com/hoitoanhoc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu I (3,0 điểm).

Cho hàm số 1 x y x   có đồ thị là (C).

M là điểm tùy ý trên (C) có hoành độ lớn hơn 1. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B phân biệt. Xác định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).

Câu II (4,0 điểm).

Cho hệ phương trình:

3

2 2 2 1 3 1

2 1 4

y y x x x

y y m x

      

    

(m là tham số; ẩn ,x y là số thực).

1. Giải hệ phương trình khi 4 m  .

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

Câu III (2,0 điểm).

Giải phương trình:   2cos 2 4 3 cos 3sin 2 3 1 0. 3 x x x             

Câu IV (3,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho đường tròn C có phương trình:     2 2 2 2 4 x y     .

Lập phương trình đường tròn  ' C tâm (4;4) I , cắt đường tròn C tại hai điểm A,B sao cho AB = 2 2 .

Câu V (3,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABC có 2 , 3 , 4 SA a SB a SC a    ,   0 90 ASB SAC   ,  0 120 BSC  .

Hai điểm M, N thỏa mãn: 3 2 , 2 SM SB SC SN     

.

1. Chứng minh tam giác AMN vuông. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 2. Cho hai điểm E và F thay đổi, lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và SC. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn EF. Câu VI (4,0 điểm).

1. Cho dãy số   nu thỏa mãn:  

1 2

1 1

1; 3

4 3 , 2 n n n

u u

u u u n n  

        

Tính lim n n S  với 1

1

n Sn ui i 

 .

2. Cho số thực x thay đổi lớn hơn 0. Chứng minh rằng:

1 2 1 2 2

x x x e e x x

      .

Câu VII (1,0 điểm).

Tìm số nghiệm nguyên dương của hệ:  

1 2 3 2014

1 1007, 1;2;3 i

x x x

x i

      

DeThi.edu.vn

Trang 01

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (Đáp án gồm 05 trang)

BÀI NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1

(3,0

điểm)

Cho hàm số 1 x y x có đồ thị là (C). M là điểm tùy ý trên (C) có hoành độ lớn

hơn 1. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B phân biệt. Xác

định tọa độ điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).

Gọi 1 ;1 1 M a a ( 1) a

Phương trình tiếp tuyến tại M là 2 1 1 1 1 y x a a a

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

2

1 1 1 1 1

x

y x a a a

Suy ra tọa độ 1 1; 1 a A a 0,5

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

2

1 1 1 1 1

y

y x a a a

Suy ra tọa độ 2 1;1 B a 0,5

Dễ thấy giao điểm I của hai đường tiệm cận nằm trong tam giác AOB suy ra diện

tích tam giác AOB OIB OIA AIB S S S S 0,5

Diện tích tam giác AOB là: 1 1 1 1 . 1 2 2 2 2 1 AOB S IA IB IA IB a a

0,5

Suy ra 4 AOB S 0,5

Diện tích AOB S nhỏ nhất khi điểm 2;2 M 0,5

Câu 2

(3,0

điểm)

Cho hệ phương trình

3

2 2 2 1 3 1 (1)

2 1 4 (2)

y y x x x

y y m x

1. Giải hệ phương trình khi 4 m .

2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

Điều kiện: 1, x y

Phương trình 3 1 2 2 1 1 1 y y x x x 0,5

Xét hàm 3 2 f t t t t đồng biến trên .

Suy ra 1 y x 0,5

DeThi.edu.vn