Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Bảng A - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2016

Môn thi : TOÁN – Bảng A

Ngày thi : 03/12/2016 Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1(3 điểm) :

Cho hàm số : y = (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 có đồ thị (Cm), với m là tham số. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d : y = –2 tại ba điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác tạo bởi gốc tạo độ O và hai giao điểm không nằm trên trục tung là 13

Bài 2(3 điểm) : Chứng minh : tan142030’ = 2 2 3 6   

Bài 3(3 điểm) : Giải phương trình:

x

x

x

x

x 1 2 1 2 2

2 2

2 2 1 1

  

 

Bài 4(3 điểm) :

Một học sinh tham dự kỳ thi môn Toán. Học sinh đó phải làm một đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Học sinh sẽ được chấm đỗ nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu. Vì học sinh đó không học bài nên chỉ chọn ngẫu nhiên đáp án trong cả 10 câu hỏi. Tính xác suất để học sinh thi đỗ. Bài 5(6 điểm) :

1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B và đường thẳng AC lần lượt có phương trình : 3x + 5y – 8 = 0 ; x – y – 4 = 0. Đường thẳng qua B và vuông góc với AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4; –2). Tính diện tích tam giác ABC. 2. Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy là hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a và tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Bài 6(2 điểm) :

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn :

2 2 2 5( ) 6( ) x y z xy yz zx     

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P =

2 2 2( ) ( ) x y z y z    

------------------------- Hết -------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . .

Chữ ký của cán bộ coi thi số 1: . . . . . . . . . Chữ ký của cán bộ coi thi số 2: . . . . . .

DeThi.edu.vn

sở giáo dục và đào tạo quảng ninh

h-ớng dẫn chấm thi chọn hỌC sINH gIỎI THPT năm 2016

môn toán bảng A( CHÍNH THỨC)

Bài Sơ lược lời giải Điểm

Bài 1 3 điểm

Phương trình hoành độ điểm chung của (Cm) và d là : (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 = –2  x[(2 – m)x2 – 6mx + 9(2 – m)] = 0 (1)

0,5

     2 2 – 0 ( ) 0 (2) – 6 9 2 – m x m x g x x m      

(Cm) cắt d tại 3 điểm phân biệt  (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 0

0,5

 ' 2 0 2 2 0 1 (*) 1 (0) 0 9(2 ) 0

g

m m m m m g m

                        

0,5

Khi đó gọi 3 giao điểm của (Cm) và d là A(0 ; –2 ), B(x1 ; –2 ), C(x2 ; –2) với x1 , x2 là nghiệm của phương trình (2) => hai điểm B, C  trục tung

Ta có 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ;0) ( ) ( ) 4 BC x x BC BC x x x x x x         

0,5

Mà theo Vi-et ta có : 1 2

2

1 2

6 1 12 2 (2 ) 9

m x x m BC m m x x

            

2 1 1 ( ; ). 12 13 2 (2 ) OBC

m S d O d BC m 

    

0,5

2

14 ( *) 13 196 196 0 14 ( *) 13

m tm m m m tm

         

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài là : m =14 và m = 14/13

0,5

Bài 2 3 điểm

Đặt x = 142030’ thì 2x = 2850 = 3600 - 750 0,5

tan2x = - tan750 = - tan(450 + 300) = –

0

0 1 tan30 1 3 1 tan30 1 3      0,5

Mà 2 2tan tan 2 1 tan

x x x  Đặt t = tanx < 0 => 2 2 tan 2 1

t x t  0,5

Do đó 2 2 1 3 1 1 3 t

t

    2 2(1 3) ( 3 1) 3 1 t t      

0,5

2 ( 3 1) 2(1 3) ( 3 1) 0 t t        3 1 2 2

3 1 t  

 0,5

Vì t < 0 nên 3 1 2 2 ( 3 1 2 2)( 3 1)

2 3 1 t      

1 (3 3 2 6 3 1 2 2) 2 2 3 6 2         

0,5

DeThi.edu.vn