Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có đáp án)

0

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

Ngày thi: 02/10/2013 Môn thi : TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình: .

b) Giải hệ phương trình: .

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho dãy số (un) xác định bởi:

Đặt . Tính: limSn .

b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên thỏa mãn:

f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y),  x, y 

trong đó  là số thực cho trước.

Câu 3 (5,0 điểm).

a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C).

b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua G. Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC.

Câu 4 (3,0 điểm).

2 3x 2 x 1 2x x 3      

3 2

3

2 2 2

8 8 x 3x 13x 15 y y (x,y )

y 4 5y (x 2x 2)

              

¡

1

2 n 1 n n

2014 u 2013

2u u 2u , n * 

        ¥

n

1 2 n

1 1 1 S ... u 2 u 2 u 2       

¡

¡

a b c T MA.h MB.h MC.h   

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

1

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:

a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 .

b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0).

Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a.

Câu 5 (3,0 điểm).

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8.

Chứng minh rằng với mọi k  *, ta có:

.

------------- Hết -------------

¥

k k k

k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

2 2 2

k 1 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 2 2

a b c 3

2 (a b)(a b )(a b )...(a b ) (b c)(b c )(b c )...(b c ) (c a)(c a )(c a )...(c a )                      

DeThi.edu.vn

2

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT

Câu 1. 5.0 Câu 2. 4.0

a) Giải PT: (1) 2.5

a)

2.0

+ Điều kiện: (*). Khi đó:

(1) 



(2)  x = 3/2 (thỏa (*))

Vì nên < 1 và x +

1 > 1

 (3) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 3/2.

0.2 5

1.0

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

b) Giải hệ PT (I): 2.5

Với mọi k  N*, ta có :

=



u1 > 1.CM:

 un > 1,  n  N*

Ta có:

 (un) tăng

Giả sử (un) bị chặn trên thì (un) tồn tại giới hạn hữu hạn: limun = a (a ≥ 1).

 2a=a2 + 2a  a = 0. Mâu thuẫn với a≥1

 limun = +  .

Vậy: .

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.5

0.2 5

0.2 5

2 3x 2 x 1 2x x 3     

2 1 n 1 n n 2014 u , 2u u 2u , n N* 2013     

2 x 3 

2x 3 (2x 3)(x 1) 3x 2 x 1       

2x 3 0 (2)

1 x 1 (3) 3x 2 x 1

           

2 x 3  1 3x 2 x 1   

k

k k k k k k

u 1 1 2 u 2 u (u 2) u u (u 2)      

k k 1 k k 1

1 2 1 1 u 2u u u     

n 1 n 1 S 1/ u 1/ u   

2 n 1 n n u (u 2u )/ 2 1, n N*    

2 n 1 n n u u u / 2 0, n N*    

n 1 lim(1/ u ) 0  

n 1 limS 1/ u 2013/ 2014  

DeThi.edu.vn

3

0.2 5

b) f(3x – y + ) = 3f(x) – f(y), x,yR (1)

2.0 + Điều kiện: y ≠ 0 (*). Khi đó:

(I) 

Đặt a = x + 1, (b ≠ 0), hệ trên trở

thành:



 a3 – b3 = (b2 – 5a2)(4a – b)

 21a3 – 5a2b – 4ab2 = 0

 a = 0 hoặc hoặc

+ Thay a = 0 vào (1) được b2 = 4 và tìm được hai nghiệm (–1 ; –1), (–1 ; 1).

+ Thay vào (1) được b2 = 9 và

tìm được hai nghiệm (–2 ; 2/3), (0 ; – 2/3).

+ Thay vào (1) được :

(vô nghiệm).

Kết luận đúng.

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

Trong (1), thay ta

được:

, x’, y’R

 , x, yR

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

 ,x,yR

(3)

Thay x = 0, y = 0 vào (3) ta được:

f(0) = 3f(0)/2–f(0)/2  f(0) = b, b tùy ý

(3)  =

,

x,yR

Đặt g(x) = f(x) – f(0), ta có: g(0) = 0 và:

,x,yR

 ,x,y

R



0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2 5

0.2

3 2

3

2 2 2

8 8 x 3x 13x 15 y y

y 4 5y (x 2x 2)

            

2

2

2 2

2 4 (x 1)(x 2x 15) 4 y y

4 1 5[(x 1) 1] y

                     

2 b y 

  2 2

2 2

a(a 16) b b 4

1 b 5(a 1)

     …