Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

- 2013

( )

Môn thi: TOÁN 12 THPT - NG B 150 phút ( ) Câu I:

3x 4 y 3x 3

(C).

Tìm các m d : y x m (C) A và B sao cho tam giác OAB ( O .

Câu II: 2 1 2x 1 2x x m 0. Tìm các m .

2. xy + x + y = x2 – 2y2

x – 1 + 2y – 3 = 3.

Câu III:

ABC.A'B'C' A' (ABC) ABC

AA' và BC a 3

4

. Tính theo ABC.A'B'C'.

2. Cho I AI, BI, CI, DI (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) A', B', C', D' AI BI CI DI 12 A'I B'I C'I D'I

1 V, V ABCD và

IBCD 1 V 4V .

Câu IV: (2,5

ho tam giác A (T): x2 + y2 – 4x – 2y = 0 trình x – y = 0. B giác ABC IBC ( I là tâm (T)) và A có .

Câu V: x, y, z y2 zx và z2 xy. Tìm gi

: x y 3z P x y y z z x

.

- - - -

DeThi.edu.vn

- 2013

Môn: TOÁN 12 THPT- 04 trang) Câu I.

2 3x 3mx 3m 4 0 1 x 1 0,5

d (C) 1

2 9m 36m 48 0 1

0.m 1 0

m) 0,5

1 2 x , x

1 2

1 2

x x m *

3m 4 x x 3

1 1 A x ; x m , 2 2 B x ; x m

0,5

2 2 2 2 1 1 2 2 OA x x m ,OB x x m

2 2 1 2 OA OB x x . Suy ra OAB O

0,5

Ta có

2 1 2 AB 2 x x . Tam giác OAB 2 2 OA AB

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x 2 x x x x 6x x 0

0,5

2 m 2 m 6m 8 0 m 4

. m 2, m 4 0,5

II. 1,

: 1 1 x 2 2

. t 1 2x 1 2x * 0,5

1 1 t' , t' 0 x 0 1 2x 1 2x

2 t 2 0,5

Ta có:

4 2 2 t 4t * x 16

4 2 t 4t 16t 16m

0,5

4 2 f t t 4t 16t t 2;2

Ta có 2;2 .

3 f ' t 4t 8t 16, f ' t 0 t 2

0,5

Suy ra

2;2 Min f t 32 ,

2;2 Maxf t 4 16 2 0,5

32 16m 4 16 2

m là: 1 4 2 2 m

0,5 DeThi.edu.vn

E

A'

C'

B'

C

B

G A

D

II. 2,

x 1

3 y 2

2 2 2 (xy x ) x y 2x 2y

x 1 2y 3 3

0,5

x y 1 x 2y 0

x 1 2y 3 3

x y 0 1 x 2y 0

x 1 2y 3 3

0,5

2y x 1

x 1 x 4 3 *

PT

2 x 4

2x 5 2 x 5x 4 9

0,5

2 2 2

4 x 7 x 4

x 5x 4 7 x x 5x 4 7 x

0,5

4 x 7 x 5 TM x 5

0,5

x 5 y 2. x; y 5; 2 0,5 III. 1,

2

ABC

a 3 S 4

G G ABC

0,5

E BC. Ta có BC AE BC AA'E BC A'G

D E AA'.

0,5

BC DE, AA' DE Suy ra DE AA' và BC 0,5

Tam giác ADE D suy ra 0 DE 1 sinDAE DAE 30 AE 2

0,5

Xét tam giác A'AG G ta có 0 a A'G AG.tan30 3

0,5

DeThi.edu.vn

A

B

C

D

A'

B'

C'

D' I

3

ABC.A'B'C' ABC

a 3 V A'G.S 12

0,5

III. 2,

2 3 4 V , V , V ICDA, IDAB, IABC

0,5

Ta có :

2 3 4

1 1 1 1

d A, BCD AA' V IA V IA V V V V 1 1 1 IA' d I, BCD V IA' V IA' V V

0,5

1 3 4

2

V V V IB 2 IB' V

, 1 2 4

3

V V V IC 3 IC' V

,

1 2 3

4

V V V ID 4 ID' V

0,5

1 , 2 , 3 và 4 ta có :

2 3 4 3 4 1 1 2 3 1 2 4

1 2 3 4

V V V V V V V V V V V V V V V V

0,5

3 3 3 1 2 2 4 4 1 1 2 4

2 1 3 2 4 3 1 4 1 3 4 2

V V V V V V V V V V V V VT 12 V V V V V V V V V V V V

0,5

1 2 3 4

V V V V V 4

. Suy ra 1 V 4V . 0,5

IV. (

d A T có tâm I 2;1 , bán kính R 5

d T A và A'

2 2 x y 4x 2y 0 x y 0

x 0

y 0

x 3

y 3

A A 3;3 và A' 0;0

0,5

Vì d A nên BA' CA' IA' BC BC BC: 2x y m 0 0,5

ABC IBC

1 1 S 3S d A, BC .BC 3. d I, BC .BC d A, BC 3.d I, BC 2 2

0,5

I

A

B C

A'

DeThi.edu.vn

m 3 m 9 m 5 3. m 9 3. m 5 m 6 5 5

0,5

. BC: 2x y 3 0

là: , suy ra

( TM ) . BC: 2x y 6 0

là: , suy ra

( TM ) là : 2x y 3 0 và 2x y 6 0.

0,5

V.

Ta có: 1 1 3 P y z x 1 1 1 x y z

, y z x a ;b ;c x y z

suy ra a b c 0 0 c 1 abc 1 ab 1

. 1 1 3 P 1 a 1 b 1 c

0,5

Ta có

2 1 1 2 a b ab 1 0 1 a 1 b 1 ab

do ab 1 )

Suy ra 1 1 2 c 1 a 1 b c 1

0,5

Hay 2 c 3 2 c 3 3 2 c P c 1 c 1 c 1 c 1 c 1

vì 0 c 1 c c 0,5

t c 0 t 1 2t 3 f t t 1

0 t 1. Ta có f t ,

2 1 f ' t 0, t 0;1 t 1

.

0,5

trên . Suy ra 5 f t f 1 2

giá tr P 5 2

khi x y z .

0,5

- - - - Chú ý: - -

DeThi.edu.vn