Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (5,0 điểm).

1. Cho hàm số , với là tham số.

Tìm các giá trị của để hàm số có ba điểm cực trị.

2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Câu II (5,0 điểm).

1. Giải bất phương trình .

2. Giải hệ phương trình .

Câu III (5,0 điểm).

1. Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niutơn của .

Biết (với , là số các tổ hợp chập của )

2. Giải phương trình : .

Câu IV (5,0 điểm).

Cho hình chóp có đường cao , đáy là tam giác vuông tại . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng . Qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cắt tại .

1. Chứng minh rằng: vuông góc với mặt phẳng .

2. Tính theo thể tích khối chóp , biết và .

- - Hết - -

Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:.........................

4 2 y x mx m    m

m



2 f x x 1 x     0;1

  2 2x 5x 3 x 1 x     ¡

 

2 2 x y 4xy 3 x,y x y xy 1

         

¡

15 x

n 5 2 1 x , x 0 x        

0 1 n 1 n n n n n C C ... C C 1024       * n¥ k n C k n

   2sin x 1 sin x 2cosx sin2x cosx    

S.ABC SA B B'

A SB B' BC SC C'

SB   AB'C'

a S.AB'C' SA AB a    BC 2a

Đề thi chính thức

DeThi.edu.vn

1

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Nội dung Điểm TXĐ: Ta có 0,5

0,5

0,5

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 0,5

I. 1, (2,5đ)

. Vậy giá trị cần tìm là: 0,5

Hàm số liên tục trên đoạn

Ta có

0,5

0,5

0,5

Ta có 0,5

I. 2, (2,5đ)

Vậy , 0,5

II.

1, (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với 0,5

D ¡

3 y' 4x 2mx  

  3 2 y' 0 4x 2mx 0 x 2x m 0       

 2 x 0

2x m 0 1

     

 1 0 m 0 m 0 m 0        

m 0 



2 f x x 1 x     0;1



2 2 2

2 2 x 1 2x f ' x 1 x

1 x 1 x

      



2

2

2 1 2x f ' x 0 0 1 2x 0 1 x

      

 

 

2 x 0;1 2

2 x 0;1 2

     

   

  2 1 f 0 0, f 1 0, f 2 2

        

     0;1 Minf x f 0 f 1 0   

   0;1

2 1 Maxf x f 2 2

       



  

2

2 2

x 1 0 1 2x 5x 3 0

x 1 0

2 2x 5x 3 x 1

                   

DeThi.edu.vn

2

Hệ BPT 0,5

Hệ BPT 0,5

0,5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 0,5

Hệ phương trình đã cho tương đương với 0,5

0,5

0,5

0,5

II.

2, (2,5đ)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 0,5

Ta có

0,5

Từ giả thiết ta suy ra 0,5

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của

là

0,5

Suy ra ứng với 0,5

III.

1, (2,5đ)

Vậy hệ số của là 0,5

PT 0,5

0,5

III.

2, (2,5đ)

0,5



x 1

x 1 1 x 1 3 x 2

           

 2 x 1 2

x 3x 2 0

      

x 1

x 2 x 1 x 2

        

    

    S ;1 2;   

 

2 x y 6xy 3

x y xy 1

         

2 x y 6xy 3 0

xy x y 1

          

    2 x y 3 x y 6 x y 9 0

xy 2 xy x y 1

                   

x 1 y 2

x 2 y 1

             

  x; y    1; 2 , 2;1

 

n 0 1 n 1 n n n n n 1 1 C C ... C C       

0 1 n 1 n n n n n n C C ... C C 2       

n n 10 2 1024 2 2 n 10     

10 5 2 1 x x          2 10 k k 5k k 7k 20 10 10 C .x .x C .x    

15 x 7k 20 15 k 5    

15 x 5 10 C 252     2sin x 1 sinx+2cosx 2sin xcosx cosx          2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0     

  

2sin x 1 0 (1) 2sin x 1 sinx+cosx 0 sinx+cosx=0 (2)      

DeThi.edu.vn