Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

www.k2pi.net

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NGHỆAN NĂM HỌC 2012 -2013

Bài 1.

a) Cho hàm sốy = 2x−1

x+1 có đồthị(C) và điểm P(2;5) Tìm tất cảcác giá trịcủa m đểđường thẳng

y = −x+m cắt đồthị(C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác PAB đều.

Bài 2.

1) Giải phương trình √x+1−2

3√2x+1−3 = 1 x+2

2) Giải hệphương trình

 



x2 +y2 + 1

x2 + 1

y2 = 5

(xy−1)2 = x2 −y2 +2

Bài 3.

1) Cho lăng trụABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ABC trùng với trong tâm tam giác ABC , Biết khoảng các giữa hai đường thẳng AA′ và BC bằng a √

3 4 .Tính theo a thểtích khối lăng trụ

2) Cho tứdiện ABCD.G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (α) qua trung điểm I của AG cắt cạnh AB,AC,AD tại các điểm khác A. Gọi hA;hB;hC;hD là khoảng cách từA,B,C,D đến mặt phẳng (α).

Chứng minh rằng: hB2 +hC2 +hD2

3 ≥hA2

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệtọa độOXY , Cho điểm A(−1;−1) và đường tròn (T) : (x−3)2 +(y−2)2 = 25. Gọi B,C là hai điểm phân biệt trên (T) khác A. Viết phương trình đường thẳng BC , biết I(1;1) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 5. Cho các sốthực dương a,b,c. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

P = 2 a+ √

ab+ 3√

abc − 3 √

a+b+c

———————————————–Hết—————————————————-

Soạn bởi diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net

DeThi.edu.vn

www.k2pi.net

LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www.k2pi.net

Bài I

Phương trình hoành độgiao điểm : x2 +(3−m)x−(m+1) = 0 Do ∆m = m2 −2m + 13 > 0,∀m nên đường thẳng ∆luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Tam giác

ABC đều ⇔d(p;(∆)) =

√

3 2 | ⃗AB|

⇔|m−7| = √

3 p

(x1 −x2)2

⇔m2 −14m+49 = 3 (m−3)2 +4(m+1)

⇔2m2 +8m−10 = 0 ⇔

" m = 1 m = −5

Bài II.1

ĐK :

( x ≥−1 x ̸= 13

Phương trình tương đương với : (x+1)√x+1+√x+1 = (2x+1)+ 3√2x+1

Đặt : a = √x+1; b = 3√2x+1 (a ≥0) ta có : a3+a = b3+b ⇔(a−b) a2 +ab+b2 +1 = 0 ⇔a = b

Với a = b, ta có :

√x+1 = 3√2x+1 ⇔

( x ≥−1

2 (x+1)3 = (2x+1)2

⇔

( x ≥−1

2 x3 −x2 −x = 0 ⇔

" x = 0

x = 1+ √

5 2

Bài II.2

Điều kiện :

 

 x ̸= 0

y ̸= 0 Ta có : (1) ⇔ x+ 1

x 2 + y−1

y 2 = 5

Ta có : (2) ⇔x2y2 −2xy+1 = x2 −y2 +2 ⇔x2y2 −x2 +y2 −1 = 2xy ⇔ x2 +1 y2 −1 = 2xy ⇔ x+ 1

x y−1

y = 2

Đặt

 

 a = x+ 1

x (|a| ≥2)

b = y−1

y

Khi đó ta có hệ:

 

 a2 +b2 = 5

ab = 2 ⇔





( a+b = 3 ab = 2 ( a+b = −3 ab = 2

⇔

" a = −2;b = −1 a = 2;b = −1 (Do |a| ≥2)

+) Với :

( a = −2 b = 1 ⇒

( x = −1

y = −1± √

5 2

+) Với :

( a = 2 b = −1 ⇒

( x = 1

y = 1± √

5 2

Bài III.1

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Theo bài ra ta có A′G ⊥(ABC) nên A′G ⊥BC .

www.k2pi.net 2 DeThi.edu.vn

www.k2pi.net

Hình 1: Câu III.1

Lại có AM ⊥BC do đó BC ⊥(A′AM). Trong mp(A′AM) kẻMH ⊥AA′ thì ta cũng có BC ⊥MH.

Suy ra dAA′,BC = MH = a √

3 4 .

Tam giác ABC đều cạnh a suy ra AM = a √

3 2 , AG = a √

3 3 .

Đặt AA′ = x, ta có A′G =

r

x2 −a2

3 .

Trong tam giác AA′M ta có: MH.AA′ = A′G.AM ⇔a √

3 4 .x =

r

x2 −a2

3 .a √

3 2 ⇔x = 2a

3 .

Từđó ta tính được A′G = a

3. Diện tích tam giác ABC là: SABC = a2√

3 4 .

Vậy thểtích khối lăng trụ: V = A′G.SABC = a3√

3 12 .

Bài III.2

Gọi B1;C1;D1 lần lượt là giao của α).

Đặt AB1

AB = x; AC1

AC = y; AD1

AD = z

Khi đó. BB1

B1A = 1−x

x ; CC1

C1A = 1−y

y ; DD1

D1A = 1−z

z

Khi đó: hB = 1−x

x hA;hC = 1−y

y hA;hC = 1−z

z hA

ŒPCM ⇔1−x

x

2 + 1−y

y

2 + 1−z

z

2 ≥3(∗)

Lại có: V.AB1IC1

V.ABGC = xy

2 ; V.AC1ID1

V.ACGD = yz

2 ; V.AB1ID1

V.ABGD = zx

2 Suy ra : V.AB1C1D1 = V.AB1IC1 +V.AC1ID1 +V.AB1ID1 = V

6 (xy+yz+zx)(V = V.ABCD)(1)

Lại có: V.AB1C1D1

V = xyz(2)

(1);(2) ⇔1

x + 1

y + 1

z = 6

www.k2pi.net 3 DeThi.edu.vn