Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Bảng A - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LONG AN ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 VÒNG 1 MÔN: TOÁN (BẢNG A) Ngày thi: 23 tháng 10 năm 2012

Thời gian làm bài: 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a. Giải phương trình sau trên tập số thực: .

b. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: .

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm .

Tìm trên trục hoành điểm M sao cho . b. Cho tam giác đều, cạnh bằng , trọng tâm là . Một đường thẳng đi qua , cắt các đoạn thẳng và lần lượt tại hai điểm và sao cho . Tính diện tích tam giác . Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số được xác định bởi và với mọi . a. Chứng minh rằng: . b. Tính tổng theo . Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho các số thực dương

a. Chứng minh rằng: .

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 5: ( 3,0 điểm )

Cho hàm số có đồ thị là , là tham số. Tìm

các giá trị của để trên có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của tại điểm đó vuông góc với đường thẳng .

1 (2 1) 1 2 x x x   

 

2 2

2

8

12

x y xy y

xy y xy x y

         

Oxy     1;2 , 4;3 A B · 0 45 AMB  ABC 6cm G  G  AB AC M N 2 3 AM AN  AMN

  nu 1 1 u  1 2

n n n u u   1 n  2 1 n nu  

1 2 3 ... n S u u u u      n

, , . a b c

    

2 2 2 9 2 2 2 7 16 a b a b         

2 2 2

2 (2 )(2 )(2 ). (3 ) a b c P a b c       

    3 2 1 1 4 3 1 3 y mx m x m x         m C m

m   m C   m C : 2 0 d x y  

DeThi.edu.vn

------ Hết ----- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Môn: TOÁN, BẢNG A. Ngày thi: 23/10/2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu Đáp án Thang điểm a. ( 2,5 điểm )

Điều kiện: Đặt ( ),

ta thu được hệ

0,25

0,25

Suy ra

0,25

0,25

0,25

0,25

Do vậy

0,5

Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn.

Đáp số:

0,25

0,25

b. ( 2,5 điểm )

1 (5,0 điểm)

Đặt , hệ trở thành: 0,5

1 . 2 x  1 2 y x   2 y 

2

1 2( 1)

1 2

x y x y

y x

      

 

  

2

2

1 1 ( 1)

1 1 1 1 0

x y y x x y

y x y x y x

    

     

   1 1 2 1 0

2 1

y x y x

y x

    

  

15 33 1 2 2 1 . 32 x x x      

15 33 32 x   

15 33 . 32 x   

    , 1 u x x y v y y     8

. 12

u v

u v

     

DeThi.edu.vn

Giải hệ tìm được hay 0,25 + 0,25

Với ta tìm được: hoặc

0,25 + 0,25

Với ta tìm được: ,

hoặc

0,25

0,25 Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm

, , , , 0,5

a. ( 2,5 điểm )

Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB.

Ta có:

0,25 + 0,25

0,25 + 0,25

hay 0,25 + 0,25

 Với thì . Đường tròn tâm I bán kính IA có

phương trình cắt trục hoành tại hai điểm và . 0,5

2 (5,0 điểm)

 Với thì . Đường tròn tâm I, bán kính IA không cắt trục hoành. 0,5

2 6 u v

   

6 2 u v

   

2 6 u v

   

1 3

2

x

y

   

3 17 2 3

x

y

      

6 2 u v

   

2 1 x

y

    

3 1 x

y

    

1 7

2

x

y

   

1 3

2

x

y

   

3 17 2 3

x

y

      

2 1 x

y

    

3 1 x

y

    

1 7

2

x

y

   

  ; I x y

. 0

AI BI

AI BI

   



2 2 3 10

5 5 10 0

x y

x y x y

         

3

1

x

y

    

2

4 x

y

    

  3;1 I 5 IA 

    2 2 3 1 5 x y    

  1 1;0 M   2 5;0 M

  2;4 I 5 IA 

DeThi.edu.vn