Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN ( BẢNG A )

Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

Ngày thi: 06/10/2011

Câu 1: ( 5,0 điểm )

a. Giải phương trình sau: với .

b. Giải phương trình: .

Câu 2: ( 5,0 điểm )

a. Cho tam giác vuông cân tại , cạnh . Trong mặt phẳng chứa tam giác lấy điểm thỏa . Tìm quỹ tích của điểm M.

b. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc bằng , . Tính độ dài trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Câu 3: ( 4,0 điểm )

Cho dãy số xác định bởi và với mọi .

a. Xác định số hạng tổng quát của dãy số .

b. Tính tổng .

Câu 4: ( 3,0 điểm )

Cho là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 5: ( 3,0 điểm )

2 2 3 4 4 1 1 5 4 2 x x x x x x      x R 

  2 2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin x x x x   

ABC B 2 AB  ABC M

2 2 2 MA MB MC  

0 60 6, 9 BM CN  

  nu 1 1 u 

2 1 3 2 n n u u   1 n 

  nu

2 2 2 2 1 2 3 2011 ... S u u u u     

, , a b c

2 2 2 1 a b c   

    3 6 M a b c a b c abc       

DeThi.edu.vn

Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: với là các số

thực.

………………. Hết ……………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………

m   3 2

2

2 2 2 3

3

x y x xy m

x x y m

         

,x y

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)

Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngày thi: 06/10/2011

ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )

Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu Đáp án Thang điểm

a. ( 3,0 điểm )

Đặt . Khi đó phương trình trở thành:

0,5

(*) 0,5

(*) 0,5

 Với thì có một nghiệm là

0,5

1

(5,0 điểm)

 Khi thì

0,5

2 3 1, 2 t x x t    

  4 2 4 2 2 4 7 5 6 9 4 4 0 t t t t t t t          

      

2 2 2 2 2 3 2 0 1 5 0 t t t t t t         

2

2

1 0

5 0

t t

t t

     

3 2 t  2 1 0 t t  1 5 2 t  

3 2 t  2 5 0 t t   1 21 2 t  

1 5 2 t  

DeThi.edu.vn

hoặc .

Khi thì

hoặc .

0,5

b. ( 2,0 điểm )

Phương trình đã cho được viết lại:

0,5

0,5

hoặc 0,5

 ,

 phương trình vô nghiệm. 0,5

2 a. (2,0 điểm )

2

2 2 1 5 1 2 2 1 5 0 2 x x x x               

1 3 2 5 2 x     1 3 2 5 2 x   

1 21 2 t  

2

2 2 1 21 1 2 2 9 21 0 2 x x x x               

1 19 2 21 2 x     1 19 2 21 2 x   

  2 2 3sin 2 3sin cos cos 3 3sin cos x x x x x x    

   

2 3sin cos 3 3sin cos 0 x x x x     

3sin cos 0 x x    3sin cos 3 x x  

1 3sin cos 0 tan 6 3 x x x x k          k Z 

3sin cos 3 x x  

DeThi.edu.vn

 Chọn hệ trục tọa độ vuông góc sao cho tia qua A và tia qua C. Ta có: , , . Giả sử .

0,5



. 0,5

 Phương trình trên là phương trình của một đường tròn tâm , bán kính .

0,5

 Vậy quỹ tích điểm M là một đường tròn tâm , bán kính .

0,5

b. ( 3,0 điểm )

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

 Xét trường hợp:

Ta có:

Vậy AC2 = 112

0,5

Vậy AB2 =

52 0,5

(5,0 điểm)

Vậy độ dài trung tuyến còn lại :

0,5

Bxy Bx

By   0;0 B   2;0 A   0;2 C

  ; M x y

2 2 2 MA MB MC  

    2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y        

 2 2 4 4 0 x y x y    

  2; 2 I  2 2 R 

  2; 2 I 

2 2 R 

·  0 120 BGC

    2 2 2 0 2 . .cos120 76 BC GB GC GB GC

    

2 2 2 2 0 2 . .cos60 28 4 AC MC GM GC GM GC

    

2 2 2 2 0 2 . .cos60 13 4 AB NB GB GN GB GN

     

2 2 2 2 63 3 7 2 4 a a AC AB BC m m

DeThi.edu.vn