Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2015-2016 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút. (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm A, B, C bằng 3. Câu 2.

a. Tìm m để phương trình có nghiệm: .

b. Giải hệ phương trình : .

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a. Biết hình chiếu vuông góc

của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm M thoả mãn . Trên cạnh CD lấy các

điểm I, N sao cho và MN vuông góc với BI. Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 600. a. Tính thể tích của khối chóp S.AMCB. b. Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SBC). Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn lần lượt có phương

trình: ; . Lập phương trình đường thẳng d

tiếp xúc với và cắt tại A, B thỏa mãn với I2 là tâm của

đường tròn .

Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

_____________ Hết _____________

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh:....................................................

Chữ ký giám thị 1: .....................................................Chữ ký giám thị 2………………....................

3 2 3 2 y x x mx m     

2 2 ( 2) ( 1) ( 6) 1 0 m x x x m x      

    3 3

4 4

2 2 1 1 1 2

1 1

y y x x y x x

x y y x

              

3 AD MD   

· · ABM MBI 

1 2 ( ),( ) C C

2 2 2 4 0 x y x y     2 2 2 6 1 0 x y x y    

1 ( ) C 2 ( ) C · 2

1 arccos 9 AI B 

2 ( ) C

1 1 1 4 a b c a b c     

  5 5 5

5 5 5 1 1 1 P a b c a b c           

DeThi.edu.vn

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2015-2016

Môn: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)

Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu NỘI DUNG Điểm Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm

phân biệt khác 1 .

Gọi là nghiệm của phương trình (2), suy ra tổng hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 3 giao điểm là:

Tổng hệ số góc của các tiếp tuyến bằng 3 (t/m đk (*)). ĐS:

Điều kiện xác định: Ta thấy không phải là nghiệm của phương trình.

Với : Pt

Đặt : ta có khi và chỉ khi .

Phương trình trở thành: .

Đặt với . Ta có:

Lập bảng biến thiên hàm số với

t 2

- 0 +

2

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

3 2 3 2 0 (1) x x mx m     

3 2 2 (1) 3 2 0 ( 1)( 2 2) 0 x x mx m x x x m            

2 2 2 0 x x m     

(*) ' 3 0 3 1 2 2 0

m m m

           

1 2 , x x

2 1 2 1 2 1 2 1 2 '(1) '( ) '( ) 3( ) 6 6( ) 3 3 9 3 y y x y x x x x x x x m m           

9 3 3 2 m m      2 m 

0 x  0 x 

0 x    1 1 2 ( ) 6 0 m x x m x x        

1 t x x   0 x  2 t 

 

2 2 2 6 2 6 0 1 t t m t t m m t           2 2 6 ( ) 1 t t m f t t       2; t    

 

2

2

2 2 8 '( ) 0 4 1

t t t f t t t

        

2 2 6 ( ) 1 t t f t t      2; t    

2 

'( ) f t

( ) f t 10 2 12  

2 m 

DeThi.edu.vn