Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1. a. Giải phương trình .

b. Giải hệ phương trình .

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (C). Tìm

điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần

lượt tại A, B phân biệt thoả mãn: .

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là

trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là

điểm H thoả mãn và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600.

a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI.

Câu 4. Cho các số thực . Chứng minh rằng:

.

Câu 5. Cho các số thực dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức .

_____________ Hết _____________

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh:................................... Chữ ký giám thị 1………………… ……..Chữ ký giám thị 2………………....................

  



  

4

6 xyz

z y x

2

2 2 4cos cos ( ) sin( ) 2 6 0 os 3sin

x x x

c x x

    

 

2 3

2 2 2 2 4 2 4

4 1 2 1 0

x y x y

x y y x

     

  

2 x y x  

5 2 AB OA OB  

3 BI IH   

, , (0;1) a b c

2 2 2 log ( ) log ( ) log ( ) 6 bc ca ab a bc ab c abc   

, , x y z

3 3 3 1 1 1 F x y z   

DeThi.edu.vn

Lời giải

Câu NỘI DUNG 1a)

ĐK:

(1)

Đối chiếu đk ta có:

2

2 2 4cos cos ( ) sin( ) 2 6 0 (1) os 3sin

x x x

c x x

    

 

2 2 1 cos 3sin 0 cos2 ( ) 2 6 x x x x k k           ¢

 2 2 2sin 2 sin sin( ) 3 1 6 0 cos cos3 ( sin cos ) 0 os 3sin 2 2

x x x

x x x x c x x

  

       1 3 cos3 cos sinx cos3x=cos(x+ ) 2 2 3 x x     

3 2 3 6 ( ) 3 2 3 12 2

x x k x k

k k x x k x

   

   

                        

¢

; 12 2 k x k Z      

DeThi.edu.vn

1b)

Điều kiện (*) Từ phương trình (2) ta có: (3)

Với thay vào (3) ta có: (không thoả mãn (1)) Với thay vào (3) thoả mãn,

Thay vào (1) ta có: (4)

Để pt (4) có nghiệm thì , lúc đó

Đặt ta có hệ

Ta lại có và

Do đó hay

Có “=” khi hay .

ĐS: Hệ có nghiệm ( )

Lưu ý (3)

Xét hàm số với

Ta có với suy ra hàm số đồng biến trên .

Từ (3) ta có .

2 3

2 2 2 2 4 2 4 (1)

4 1 2 1 0 (2)

x y x y

x y y x

     

  

0 x 

2 2 4 1 2 1 x y y x  

2 2 2 2 2 2 (4 1) 4 ( 1) 4 2 x y y x x y x y         2 x y  0 x y   2 x y 

3 2 3 2 (2 ) x x   

3 0 2 x   3 6 (4) 2 2 x x    

3 6 2 ; ( , 0) x a x b a b     6 6

2

2

a b

a b

      

6 6 3 3 2 8( ) 4( ) a b a b   

3 3 3 2 2 ( )( ) 2 2 2 a b a b a b a b ab               6 6 8( ) 16 a b   16 16 

1 a b   1 1; 2 x y   

1 1; 2



2 2 2

1 ( 2 ) 1

x y

x y

     

2 ( )

1

x f x

x 



x R 

2 2 1 '( ) 0 ( 4) 4 f x

x x    

x R  R

( ) ( 2 ) 2 f x f y x y    

DeThi.edu.vn