Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh

1

SỞ GD  ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)

Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Điều kiện: .

Phương trình đã cho

1

1 1.a 3 điểm

Giải (1) ta có

Đối chiếu điều kiện ta có:

1

Điều kiện:

Ta thấy

nên

1

(1) Ta thấy không thỏa mãn (1) Với , chia cả 2 vế của (1) cho ta được

(2)

1

1.b 3 điểm

Đặt

Phương trình (2) trở thành 0,5

1 cos 2 (k Z) 2 3 x x k        

  

 

2

2 sin 3 cos2 4cos 1

sin (2cos 1) 2cos 1

x x x

x x x

 

  

2cos 1 0

sin 3 cos2 sin (2cos 1)

x

x x x x

      

1 cos 2 sin 2 3 os2 2sin

x

x c x x

    

  

2 2 3

sin(2 ) sinx (1) 3

x k

x

 



    

   

2 3 ( ) 2 2 9 3

x k

k Z k x

 

 

   

     

Z k k x k x       ; 3 2 9 2 ; 2 3 2    

15 221 0 2 15 221 2

x

x

    

  

1 2 5 2 ( 5 2) ; 9+4 5=( 5+2)    

2 5 2 9 4 5 log ( 1) log (2 30 2) 0 x x x x        

2 5 2 5 2 1 log ( 1) log (2 30 2) 0 2 x x x x         

2 5 2 5 2 log ( 1) log 2 30 2 x x x x        

2 1 2 30 2 x x x x      0 x  0 x  x

1 1 1 2( ) 30 x x x x     

1 (t 2) x t x   

2 2 2 2 2 34 1 2 34 2 1 2 35 0 t t t t t t t           5 ( )

7 ( )

t tm

t L

   

DeThi.edu.vn

2

Đối chiếu điều kiện ta có

0,5

Tập xác định: R

Đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt

0.5

Khi đó

Với ;

Vậy đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị

Ta có và A, B,C không thẳng hàng nên tam giác ABC cân tại A

0.5

TH1: Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:

C B

A

1

2 3 điểm

TH2: hoặc Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:

Vậy ;

1

Điều kiện: .

(1)

Đặt , (1) trở thành (2)

0,5

Xem là một hàm số của ,ta có

Vì nên và mỗi có duy

nhất .

0,5 3.a 3 điểm

Yêu cầu bài toán tìm để bất phương trình (2) nghiệm đúng

Do nên (2)

0,5

1 1 5 x+ 23 x x x     2 23 5 21 23 1 0 2 x x x      

23 5 21 2 x  

3 2 2 ' 4 4 4 ( ) y x mx x x m    

2

0 ' 0 x y

x m

     

' 0 y  0 m  

2

0 0 ' 0

x x y

x m x m

           

2 0 x y m m     x m y m   

2 (0; ); B(- ; -m); C( ; -m) A m m m m 

4 ; BC=2 AB AC m m m   

· 0 30 BAC 

2 2 2 0 2 . . os30 BC AB AC AB AC c   

4 4 4 2( ) 3( ) m m m m m     

4 (2 3) (2 3) m m    

3 2 (2 3) (do m >0) m   

2 3 (2 3) (tm) m    · 0 30 ABC  · 0 30 ACB  · 0 120 BAC  

2 2 2 0 2 . . os120 BC AB AC AB AC c   

4 4 4 2( ) ( ) m m m m m      4 3m m   3 1 (do m >0) 3 m   3

1 .

3 m  

2 3 (2 3) m   3

1 .

3 m 

1 1 x  

2 ( 1 3 1 ) 16 12 1 2 15 m x x x x m        

2[9( 1) 6 (1 )(1 ) (1 )] (3 1 1 2) 5 0 x x x x m x x              

3 1 1 x x t     2 2 ( 2) 5 0 t m t    

t x 3 1 ' 0 2 1 2 1 t

x x     

( 1;1) x 

( 1) 2; t(1)=3 2 t   2 3 2 t   [- 2;3 2] t 

[- 2;3 2] x

 m [- 2;3 2] t 

2 0 t   [- 2;3 2] t 

2 2 5 ( ) 2 t m f t t      

DeThi.edu.vn