Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

Câu 1. Giải các phương trình:

a) ( )( )

( )

2 sin 3 cos2 2cos 2 1

sin 2 sin . 2cos 1

x x x

x x x

− + = + −

b) 2 5 2 9 4 5 log ( 1) log (2 30 2) 0 x x x x − + − + + − + = .

Câu 2. Cho hàm số 4 2 2 2 y x mx m m = − + − .

Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc 0 30 . Câu 3. a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đúng với mọi giá trị

[-1;1] x∈ : 2 1 12 1 16 3 1 2 15 m x x x m x m − + − ≥ + + + + .

b) Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng một nghiệm

7 2

7 2 9 6 1

9 6 1

x y y

y x x

 − − =  − − = 

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và G là trọng tâm tam giác SCD. Biết khoảng

cách từ H đến mặt phẳng (SMC) bằng 3 15 20 a . Tính thể tích khối chóp G.BCMH.

Câu 5. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn

1 1 2 3( ) x y x y y x − − + + = + .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 4 4

3 ( ) ( ) x y P x y y x xy = − + − .

_____________ Hết _____________ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

DeThi.edu.vn