Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh

1

SỞ GD  ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)

Câu Đáp án Điểm

1.a 3 điểm

Điều kiện: 2  x . Phương trình đã cho  6 2 6 2 3      x x x

   3 2 6 2 3

24 8     

 x x x

x  



   

 

(*) 4 6 2 3

3

x x

x

1

Giải (*): (*)     16 6 2 6 12 10      x x x

    x x x 5 14 6 2 3             

   

 

2 5 14 6 2 9

0 5 14

x x x

x

1





 

  



0 19 11 5 14

2 x x

x 

  

 



 



2

5 3 11

5 14

x

x

 2

5 3 11  x (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 3  x , 2

5 3 11  x .

1

1.b 3 điểm

Ta thấy 0  y không thỏa mãn hệ đã cho nên 0  y . Phương trình: 0 2 3 2 3    y xy x    0 2 2 2      y xy x y x

0    y x (vì 0  y nên 0 4 7 2 1 2 2 2 2 2             y y x y xy x ) x y    .

1

Thay x y   vào phương trình sau ta được: x x x x 3 4 4 2 3 2 4     0,5

 4 3 4 2 3 2 4     x x x x

 3 1 4 1 3           x x x x (chia cả hai vế cho 0  x ). 0,5

Đặt 3 1

x x t   , pt trở thành 0 3 4 3   t t     0 3 4 4 1 2     t t t  1  t . 0,5

Với 1  t ta có: 1 1  x x  2

5 1  x .

Vậy hệ có hai nghiệm:  

  

     

  

   

2

5 1 , 2

5 1 ; 2

5 1 , 2

5 1 .

0,5

2.a 3 điểm

Gọi A      

2 2 , a

a a , B      

2 2 , b

b b với b a b a    ;2 , .

Vì (C) không có tiếp tuyến kép nên các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song

 ) (' ) (' b y a y      

2 2 2 4 2 4

   b a

Do b a  nên ta có   2 2     b a  a b   4 .

1

Khi đó ta có tọa độ B  

    



   2

4 2 , 4 a

a a .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A, B lần lượt là:

0 2 ) 2 ( 4 2 2     a y a x và 0 ) 4 ( 2 ) 2 ( 4 2 2      a y a x

1

DeThi.edu.vn

2

Khoảng cách giữa chúng:

h =

 

4

2 2

2 16

2 ) 4 ( 2

 

 

a

a a

=

 

4 2 16

2 16

 



a

a

 

2 4 2 8

2 16

2  

 

a

a . 0,5

Đẳng thức xảy ra    4 2

2   a  



  

4 0 a a .

Vậy các điểm cần tìm là: A  0,0 ; B  4,4  hoặc A  4,4  ; B  0,0 .

0,5

2.b 3 điểm

Điều kiện: 2 2    x .

Đặt 2 4 x x t    . Xem t là hàm số của x, xét hàm số t trên   2;2  :

2

2

2 4

4

4 1 '

x

x x

x

x t



      , 2 0 '    x t .

Bảng biến thiên của t trên   2;2  :

0,5

Từ bảng biến thiên ta có   2 2;2   t và quan hệ số nghiệm của t và x:

+) một giá trị   2 ,2   t hoặc 2 2  t cho tương ứng một nghiệm x,

+) một giá trị   2 2 ,2  t cho tương ứng hai nghiệm x.

0,5

Ta có 2 2 4 2 4 x x t     2

4 4

2 2    t x x .

Phương trình ban đầu trở thành: m t t     2 2 1 2

Xét hàm số 2 2 1 ) ( 2     t t t f trên tập   2 2;2  .

1 ) ('   t t f , 1 0 ) ('    t t f

1

Bảng biến thiên:

0,5

Từ bảng biến thiên của f(t), phương trình ban đầu có đúng 3 nghiệm x  phương trình m t f  ) (

có 1 nghiệm  ) 2 2 ,2  t và 1 nghiệm    2 2 2 ,2    t

 2 2 2 2    m .

0,5

t 2 1 2 2 2

f’(t) + 0   f(t)

2

2

5

2

2 2 2 

x 2 2 2

t’ + 0  t

2

2

2 2

DeThi.edu.vn