Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Tĩnh (Có đáp án)

www.k2pi.net

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 -2013

Bài 1.

a) Giải phương trình: 3(2+√x−2) = 2x+ √

x+6

b) Giải hệphương trình:

 

 x3 +xy2 +2y3 = 0

3√

x4 −x2 +4 = 4y2 +3y .

Bài 2.

a) Cho hàm sốy = 2x x+2 có đồthị(C). Tìm hai điểm A,B trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại

A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trịlớn nhất.

b) Tìm tất cảcác giá trịtham sốm đểpt sau có 3 nghiệm phân biệt:

x+ p

4−x2 = m+x. p

4−x2

.

Bài 3. Xác định các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện:

cos A−B

2 +cos A−C

2 = 3

2 +sin 3A

2

.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC =

SA = SB = a. Tìm độdài cạnh SC sao cho khối S.ABC có thểtích V = a3

8 .

Bài 5. Cho thỏa mãn: a2 +b2 +c2 = 3abc Tìm giá trịlớn nhất của:

P = r a 8a2 +1 +

r

b 8b2 +1 + r c 8c2 +1

———————————————–Hết—————————————————-

DeThi.edu.vn

www.k2pi.net

LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN K2PI.NET

Bài 1.a

ĐK: x ≥2 Phương trình đã cho tương đương với:

6+3√x−2 = 2x+ √

x+6 ⇔ 8x−24 3√x−2+ √

x+6 −2x+6 = 0

⇔ 8(x−3) 3√x−2+ √

x+6 −2(x−3) = 0

⇔(x−3)( 8 3√x−2+ √

x+6 −2) = 0

⇔x = 3 hoặc 8 3√x−2+ √

x+6 = 2

+) Với 8 3√x−2+ √

x+6 = 2 ⇔3√x−2+ √

x+6 = 4

Giải phương trình trên ta được kết quảlà:x = 11−3 √

5 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 3 hoặc x = 11−3 √

5 2

Bài 1.b

Ta có: (1) ⇔(x+y)(x2 −xy+2y2) = 0 ⇔x = −y Thay vào (2), ta được: 3√

x4 −x2 +4 = 4x2 −3x

⇔ x2(x2 −x−1)

x2 +x √

x4 −x2 +( 3√

x4 −x2)2 = 4(x2 −x−1)

⇔(x2 −x−1)( x2

x2 +4x √

x4 −x2 +( 3√

x4 −x2)2 −4) = 0

⇔x2 −x−1 = 0 hoặc x2

x2 +4x √

x4 −x2 +( 3√

x4 −x2)2 −4 = 0

+) Với x2 −x−1 = 0 ⇒

  

 

x = 1+ √

5 2

y = −1− √

5 2

;

  

 

x = 1− √

5 2

y =

√

5−1

2

+) Với x2

x2 +4x √

x4 −x2 +( 3√

x4 −x2)2 −4 = 0 ⇔(x+2 √

x4 −x2)2+2x2 = 0 ⇔

 

 2x = 0

x+2 3√

x4 −x2 = 0 Khi x = 0 ⇒y = 0 Ta thấy (x;y) = (0;0) không thoảmãn hệphương trình .

Vậy hệphương trình đã cho có nghiệm:

  

 

x = 1+ √

5 2

y = −1− √

5 2

;

  

 

x = 1− √

5 2

y =

√

5−1

2

Bài 2.a

Ta gọi các điểm A a−2; 2a−4

a

, B b−2; 2b−4

b

∈(C) với a ̸= b;a,b ̸= 0 Ta có hệsốgóc của

tiếp tuyến tại A và B lần lượt là k1 = f ′(xA) = 4

a2, k2 = f ′(xB) = 4

b2 Điều kiện cần đểtiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là: k1 = k2

⇔

" a = b (L) a = −b

Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận thì I(−2;2).

Ta có xA +yB = −4 = 2xI, yA +yB = 2a−4

a + 2b−4

b = 4 = 2yI

www.k2pi.net 2 DeThi.edu.vn

www.k2pi.net

Suy ra I là trung điểm của AB.

Tiếp tuyến tại điểm A là: y = 4

a2 (x−a+2)+ 2a−4

a ⇔∆: 4x−a2y+2a2 −8a+8 = 0

Ta có khoảng cách giữa hai tiếp tuyến cũng là khoảng cách từđiểm B đến ∆bằng hai lần khoảng cách

từđiểm I đến ∆Ta có dI/∆= |8a| √

16+a4 Theo bất đẳng thức AM −GM ta có: a4 +16 ≥8a2 ⇒ √

16+a4 ≥2 √

2|a| ⇒dI/∆≤2 √

2

Suy ra dmax = 2 √

2. Dấu bằng xảy ra khi a4 = 16 ⇔

" a = 2 a = −2 +) Với a = 2 ⇒b = −2 , khi đó A(0;0);B(−4;−4) +) Với a = −2 ⇒b = 2 khi đó A(−4;−4);B(0;0)

Bài 2.b

Điều kiện : −2 ≤x ≤2

Đặt : f(x) = x+ √

4−x2 −x. √

4−x2, x ∈[−2;2] , ta có :

f ′ (x) = 1− x √

4−x2 − √

4−x2 + x2 √

4−x2 =

√

4−x2 +2x2 −x−4 √

4−x2 ;

f ′ (x) = 0 ⇔ √

4−x2 +2x2 −x−4 = 0

⇔

( 4+x−2x2 ≥0 2x4 −2x3 −7x2 +4x+6 = 0 ⇔

( 4+x−2x2 ≥0 x2 −2 2x2 −2x−3 = 0 ⇔



 x = √

2

x = 1− √

7 2

Hình 1: Bài 2.a

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán tương đương với : 2 √

2−2 < m ≤2

Bài 3. Đặt : A−B

2 = x; C −A

2 = y ⇒x−y = 3A

2 −π

2 ⇒3A

2 = π

2 +x−y

Ta có : cosx+cosy = 3

2 +sin π

2 −(y−x)

⇔cosx+cosy = 3

2 +cos(y−x)

⇔2cos2 x−y

2

−2cos x+y

2

cos x−y

2

+ 1

2 = 0

⇔cos2 x−y

2

−cos x+y

2

cos x−y

2

+ 1

4cos2 x+y

2

+ 1

4sin2 x+y

2

= 0

⇔ cos x−y

2

−1

2 cos x+y

2

2 + 1

4sin2 x+y

2

= 0

www.k2pi.net 3 DeThi.edu.vn