Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12 HÀ NỘI Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Ngày thi 3 – 10 – 2013, thời gian làm bài 180 phút Bài 1 (5 điểm) Cho hàm số: y = x3 – 3x + 4 có đồ thị (C).

a) Tìm các điểm M, N cùng nằm trên (C) sao cho điểm I ( 1 2  ; 2) là trung điểm của đoạn thẳng

MN. b) Cho ba điểm phân biệt A, B, C cùng thuộc (C). Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt (C) tại điểm thứ hai lần lượt A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Nếu A, B, C thẳng hàng thì A’, B’, C’ cũng thẳng hàng. Bài 2(5 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2 + 2x + 5 = (4x – 1) 2 3 x 

b) Giải hệ phương trình:

3 3 2

4 2 3 6 3 4 0

2 4 3 3 2 3 2 0

x y x x y

x y y x

       

       

Bài 3(2 điểm) Cho các số thực a, b, c sao cho a  0, b  0, 0 c  1 và a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 2ab + 3bc + 3ca + 6 a b c  

Bài 4 (5 điểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Đặt , , xOy yOz zOx       . Lấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho OA = OB = OC = a với a > 0.

a) Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho BM = 2MC và I là trung điểm của đoạn thẳng

AM. Tính độ dài của đoạn thẳng OI theo a trong trường hợp 0 0 60 , 90 .      

b) Chứng minh rằng: cos + cos  + cos > - 3

2

Bài 5(3 điểm) Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện:

1 2

1

2

2013 , 1,2,.... 2014 2014

n n n

u

u u u n 

      

a) Chứng minh rằng (un) là dãy số tăng.

b) Với mỗi n 1, n N, đặt vn =

1 1

n

n

u

u . Chứng minh rằng: v1 + v2 +…+ vn < 2014 với mọi

n 1.

-----------------------Hết----------------------- Họ tên thí sinh:……...…………………………Phòng thi:………….Số báo danh:………..……..

DeThi.edu.vn

Đáp án Bài Đáp án Điểm Bài 1a Tìm cặp điểm đối xứng…. 3điểm Gọi M(x0, y0) (C) => y0 = 3 0 0 3 4 x x   (1) Vì I là trung điểm của MN => N(-1- x0; 4 - y0).

1điểm

Vì N(-1- x0; 4 - y0) (C) nên 4 – y0 = (-1- x0)3 – 3(-1 - x0) + 4 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 4 – ( 3 0 0 3 4 x x   ) = (-1- x0)3 – 3(-1 - x0) + 4  2 0 0 2 0 x x   

1điểm

Với x0= -2 => y0 = 2 Với x0= 1 => y0 = 2 Vậy cặp điểm cần tìm là M(-2; 2), N(1; 2).

1điểm Bài 1b Chứng minh ba điểm thẳng hàng ..... 2điểm Gọi A(a; f(a)), B(b; f(b)), C(c; f(c)) với a, b, c đôi một khác nhau. Ta có A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:

( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f c f a b a c a     

 b2 + ab + a2 – 3 = c2 + ac + a2 – 3  a + b + c = 0

1điểm Phương trình tiếp tuyến tại A là: y = f’(a)(x – a) + f(a). Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến tại A và (C) là : (3a2 – 3)(x – a) + a3 – 3a + 4 = x3 – 3x + 4  (x-a)2(x+2a) = 0 => tiếp tuyến tại A cắt (C) tại điểm thứ hai A’(-2a; f(-2a)). Tương tự B’(-2b; f(-2b)), C’(-2c; f(-2c)). Vì a + b + c = 0 => (-2a) + (-2b) + (-2c) = 0 =>A’, B’, C’ thẳng hàng

1điểm Bài 2a Giải phương trình…. 2điểm Đặt t = 2 3 x  => t2 = x2 + 3 => phươnng trình trở thành: 2t2 + 2x – 1 = (4x – 1)t  2t2 – (4x – 1)t + 2x – 1 = 0

Ta có:  = (4x-3)2 =>

1 2 2 1

t

t x

     

1điểm Trường hợp 1: Với t = 1

2 => x2 + 3 = 1

4 => loại

Trường hợp 2: Với t = 2x - 1 ta có:

2 3 x  = 2x – 1 

2

1 1 2 10 2 2 3 2 10 3 4 2 0

3

x x x x x x

                     

Vậy x = 2 10 3  là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

1điểm

Bài 2b. Giải hệ phương trình....

DeThi.edu.vn