Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 THPT - Năm học 2011-2012 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Tháp

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP

-----------------------------------------------------------------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2011 - 2012

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)

I. Hướng dẫn chung 1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.

II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm Câu 1

Giải phương trình: 2 1 2 3 1. x x x x x    

3đ

 Điều kiện: 1 0, 1 x x     Chia hai vế của phương trình cho ,x ta được:

1 1 1 1 2 3 2 3 0 x x x x x x x x          

 Đặt 1 , (t 0) t x x    . Ta có: 2 1 2 3 0 1 2

t t t t t

        

 Với 2 1 1 5 1 1 1 0 2 t x x x x x

        (thỏa mãn)

 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1 5 . 2 x  

Câu 2 Cho hai số dương ,x y thỏa mãn điều kiện 1, 1 x y   và 3( ) 4 . x y xy   Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3

2 2 1 1 3 . P x y x y          

3đ

 Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có:

9 4 3( ) 6 4 xy x y xy xy     

 Do điều kiện 1, 1 x y   nên: ( 1)( 1) 0 1

4 1 3 3

x y xy x y

xy xy xy

     

   

 Ta có: 3 3

2 2 1 1 3 P x y x y          

2

2

2 2

3 3 2 2

1 1 6 ( ) ( ) 3 3

4 16 16 6 3 3 9 3 64 6 16 4 27 3

x y x y xy x y xy

xy x y xy xy

x y x y xy

                

         

   

 Đặt t xy  , với 9 ;3 4 t      

3 2 64 6 16 4 27 3 P t t t     

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

DeThi.edu.vn

Trang 2

Xét hàm số 3 2 64 6 16 ( ) 4 27 3 f t t t t     , 9 ;3 4 t      

Ta có:

3 2

2 2 64 6 8 (8 9) 54 9 '( ) 8 0, ;3 9 9 4 t t f t t t t t t             

( ) f t  là hàm số tăng trên 9 ;3 4      

9 ( ) (3) 4 f f t f         

hay 113 94 ( ) 12 3 f t  

 Vậy: Giá trị nhỏ nhất của P bằng 113

12 . Khi đó

9 4 3 2 3( ) 4

xy

x y x y

x y xy

           

Giá trị lớn nhất của P bằng 94

3 . Khi đó

1 3 3 ( 1)( 1) 0

3 3( ) 4

1

x xy y x y

x x y xy

y

                           

.

Câu 3 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 . x x y    2đ

 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 4 (4 4 1) 7 (2 ) (2 1) 7 x x y y x x y x             (2 2 1)(2 2 1) 7 7 1 1 7 ( 7) ( 1) ( 1) ( 7) y x y x            

 2 2 1 7 1

2 2 1 1 2

y x x

y x y

            

 2 2 1 1 2

2 2 1 7 2

y x x

y x y

            

 2 2 1 7 2

2 2 1 1 2

y x x

y x y

            

 2 2 1 1 1

2 2 1 7 2

y x x

y x y

            

 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên: ( ; ) (1;2),(1; 2),( 2;2),( 2;2). x y    

Câu 4 Cho tam giác ABC có , BC a  , CA b  AB c  và . c b  Hai điểm , M N tương ứng di động trên hai cạnh , AB AC sao cho MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ nhất.

3đ

 Từ giả thuyết, ta có:

1 1 1 1 1 . sin . sin . 2 2 2 2 2 AMN ABC S S AM AN A bc A AM AN bc     

 Đặt , AN xb AM yc   với , 1 x y  1 1 1 . 2 2 2 AM AN bc xybc bc xy     

WWW.MATHVN.COM

www.MATHVN.com

DeThi.edu.vn