Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Đăk Lăk (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 1011 TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút(không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/11/2010 Bài 1(4 điểm).

Cho hàm số x 1 y = x +1

 có đồ thị là (C)

a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M nằm trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Bài 2(4 điểm). a) Cho x,y R  ; x 0,y 0   và x + y = 1.

Chứng minh rằng: x y 3 25 3 25 5 26 4   

b) Giải hệ phương trình :

2

2 2

8 9 0 4x + 4xy + y + 2x + y 2 = 0

1 2x y

  

    

; với x,y R 

Bài 3(4 điểm).

Cho tứ diện ABCD có bốn đường cao đồng quy tại điểm H.

a) Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 = AD2 + BC2

b) M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD; gọi V là thể tích của tứ diện ABCD; S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : MA.S1 + MB.S2 + MC.S3 + MD.S4 theo V.

Bài 4(4 điểm).

a) Cho phương trình: 7 5 3 128x +192x 80x +8x 1= 0    (1)

Phương trình (1) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực nằm trong khoảng (0;1)?

b) Cho tứ diện ABCD, điểm O nằm trong tứ diện sao cho OA=OB=OC=OD = R. Các đường thẳng OA, OB, OC, OD cắt các mặt BCD, CDA, DAB, ABC

tương ứng ở A’, B’, C’, D’, Chứng minh rằng 16 ' ' ' ' 3 AA BB CC DD R    

Bài 5(4 điểm). Hãy tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực R, lấy giá trị trong R và thỏa mãn hệ thức f(x – y) +f(xy) = f(x) – f(y) + f(x).f(y), với mọi số thực x, y.

------------------------------------------------- Hết -------------------------------------------------------

Họ và tên thí sinh_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Số báo danh_ _ _ _ _ _ _ _

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 1011 TỈNH ĐẮK LẮK MÔN: TOÁN 12 – THPT

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

A. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Bài 1(4 điểm). a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M nằm trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cận là là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: Tiệm cận đứng là x + 1 = 0 và tiệm cận ngang là y - 1 = 0 Cho 0,5 điểm

Giả sử o o

o

x 1 M x ; x 1        

là điểm thuộc đồ thị (C)

Khoảng cách từ M đến đường tiệm cận đứng là: d1 = o x 1 

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là : d2 = o

o o o

x 1 2 2 1 x 1 x 1 x 1        

Cho 0,5 điểm

Ta có : 1 2 o

o

2 d .d x 1. 2 x 1    

Vậy tích các khoảng cách từ một điểm M nằm trên đồ thị (C) đến hai đường tiệm cận là là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Cho 0,5 điểm

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

Tâm đối xứng của đồ thị là I(–1; 1) Cho 0, 5 điểm Gọi N(x0,y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị, khi đó tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình:

 

 

0 0 2

0 0

1 2

1 1

x y x x x x

     

 2 2 0 0 0

1 2 ( 1) 2 1 0 x x x y x x         

Cho 0,5 điểm

Gọi d là khoảng cách từ I đến tiếp tuyến trên ta có:

0

0 4 0

4 4 ; 1 4 ( 1)

x d x x

    

, khi đó d lớn nhất khi và chỉ khi d2 lớn nhất

Đặt X = x0 + 1 và

2

4 ( ) 4

X g X X   ; 0 X , ta có

4 '

4 2 2 (4 ) ( ) (4 ) X X g X X

  

Khi đó d2 lớn nhất khi ( ) g X lớn nhất

Ta có bảng biến thiên của hàm

2

4 ( ) 4

X g X X   như sau: Cho 0,5 điểm

DeThi.edu.vn