Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp cụm môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG

CỤM THPT LẠNG GIANG

–––––––––––––––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP CỤM

NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG

Ngày thi: 19/02/2017 (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)

–––––––––––––––––––––––

Câu 1 (2 điểm) Tìm m để hàm số ( ) 2 2 x f x mx − = − đồng biến trên khoảng (0;1).

Câu 2 (2 điểm) Cho hàm số 2 3 2 x y x + = + có đồ thị là đường cong ( ) C và đường thẳng( ): 2 d y x m = − + .

Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt đường cong ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho biểu thức

2017 2017 1 2 P k k = + đạt giá trị nhỏ nhất với ( ) ( ) 1 2 ' , ' A B k y x k y x = = .

Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình 3 2 3.sin (cos 1)(6cos 9) 3sin 2 .sin 6 0 x x x x x + + − + + = . Câu 4 (2 điểm ) Cho log196 a = , log56 b = . Tính log0.175 theo a, b. Câu 5 (2 điểm) Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 5 1 7

2 6 5 5 2 6 5 14 20 25

7 6log (5 5 5) 1 x y x xy y x xy y x y

x y + −

 + + + = + + + + +  = − − + 

Câu 6 (2 điểm)

Tính tích phân

3 2 2 2 2 1

1 1 1 14 I x dx x x

+   = − − −     ∫

Câu 7 (1 điểm) Một hộp đựng 50 quả cầu được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.

Câu 8 (4 điểm) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc hạ từ ' A xuống ( ) ABC là trọng tâm của tam giác ABC . Mặt phẳng ( ) ' ' BCC B hợp với mặt

phẳng đáy góc 45 . o a) Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C b) Gọi , I J lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và ' CC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ' AA và IJ . Câu 9 ( 2 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a . Điểm H nằm trên cạnh

AB thỏa mãn 2 HB HA = , SH vuông góc với AB . Mặt phẳng ( ) SAB vuông góc với mặt phẳng chứa

đáy, SA hợp với đáy góc 60o . a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ( ) S ngoại tiếp hình chóp .S ABCD .

b) Mặt phẳng ( ) P đi qua trung điểm của SA và song song với mặt phẳng( ) ABCD , mặt phẳng ( ) P

cắt mặt cầu ( ) S theo giao tuyến là đường tròn ( ) C . Tính bán kính đường tròn ( ) C .

Câu 10 (1 điểm)

Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn ( ) 2 2 y z x y z + = + .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 P x y z x y z = + + + + + + + + +

.

––––––––– HẾT––––––––– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh…………………………………………..……Số báo danh……………………..

Giám thị 1 (Họ tên và chữ kí)………….…………………….……………………………………….

Giám thị 2 (Họ tên và chữ kí)………………….…………….……………………………………….

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu NỘI DUNG Điểm 1 Tìm m để hàm số ( ) 2 2 x f x mx − = − đồng biến trên khoảng (0;1). 2 điểm + Điều kiện xác định của hàm số ( ) f x là 2. mx ≠ + Xét 0 m = không thỏa mãn bài toán.

0.5

+Xét 0 m ≠ hàm số trở thành 1 . 2 2 ( ) m m

x f x x

− = −

và 2 2 2

2 1 2 2 . . 2 2

2 '( ) m m m m m m

f x x x

+ −+ =            

− = − −

0.5

+ Để thỏa mãn bài toán ta có điều kiện

2 (0;1)

2 2 0. m m

 ∉  −+ > 

0.5

+Rút ra được điều kiện là 1 2 m < ≤ . 0.5 2 Cho hàm số 2 3 2 x y x + = + có đồ thị là đường cong ( ) C và đường thẳng( ): 2 d y x m = − + .

Tìm m để đường thẳng ( ) d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho biểu thức

2017 2017 1 2 P k k = + đạt giá trị nhỏ nhất với ( ) ( ) 1 2 ' , ' A B k y x k y x = = .

2 điểm

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

2 3 2 2 x x m x + = − + + 2 2

2 (6 ) 3 2 0 (1)

x

x m x m

≠−  ⇔ + − + − = 

0.25

+Điều kiện để có hai giao điểm là phương trình ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2 − hay

( )

( ) ( ) ( )

2 1

2 0 4 12 0

1 0 2. 2 6 . 2 3 2 0

m m m m m

∆ >   + + >  ⇔ ⇔∀ ∈  −≠ − + − − + − ≠   

0.25

+ Giả sử các hoành độ giao điểm là 1 2 , x x . Ta có 1 2 2 2 1 2

1 1 , ( 1) ( 1) k k x x = = + + .

Ta có

( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 . 4 2 2 2 2 4 k k x x x x x x = = = + + + + +

.

0.5

+ ( ) …