Đề thi chọn học sinh giỏi cụm Lạng Giang môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Cụm Lạng Giang (Có đáp án)

http://toanhocmuonmau.violet.vn

CỤM LẠNG GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM LẠNG GIANG NĂM HỌC 2012-2013 Môn thi: Toán-lớp 12. Ngày thi:24 tháng 2 năm 2013. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề). Câu I. (4,0 điểm:1-3) :

Cho hàm số: ( ) 2 1

m mx y C x

+ = − , với m là tham số thực.

1) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. 2) Với m =2. Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) 2 C , biết rằng khoảng cách từ tâm

đối xứng của đồ thị ( ) 2 C đến tiếp tuyến cần lập là lớn nhất?

Câu II. (4,0 điểm:2-2)

1. Giải hệ phương trình:

2 xy y

4 2 2

1 log x log 16 4 log 2

4x 8x xy 16x 4x y

 + = −    + + = + 

(x, y ∈ R)

2. Giải phương trình:

4 4 4 sin 2 x+ cos 2 x = cos 4 x tan( - x).tan( + x) 4 4 π π . (x ∈ R)

Câu III.(2,0 điểm):

Với mọi n nguyên, n ≥ 3, tính tổng 3 3 3 3 3 4 5

1 1 1 1 ...

n P C C C C = + + + + theo n

Câu IV. (2,0 điểm) :

Tính tích phân: ( )

3

2 0

1 2013cos

2013 cos

x I dx x

π + = + ∫ .

Câu V. (4,0 điểm:2-2) 1. Cho tam giác ABC có B(3;5), C(4;-3), đường phân giác trong của góc A có phương trình x+2y-8=0. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 1), B(5; -1; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho 2MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu VI. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Gọi M là trung điểm của SD, mp(ABM) vuông góc với mp(SCD) và đường thẳng AM vuông góc với BD. Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ M đến (SBC). Câu VII. (1,0 điểm) : Cho a, b, c là các số thực dương . Tìm GTLN của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 a(b + c) b(c + a) c(a + b) H= + + (b + c) + a (c + a) + b (a + b) + c

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:……………………………………….SBD:……………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

http://toanhocmuonmau.violet.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 12 Câu Ý Nội Dung Điểm Tập xác định: { } \ 1 D = ℝ

Ta có: ( )

2 2 '

1

m y x

− − = −

0.5

1 1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số khi và chỉ khi y’>0 với mọi x thuộc D hay –m-2>0 hay m<-2 Vậy với m>-2 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số

0.5

Khi m=2, ta có hàm số đã cho trở thành: ( ) 2 2 2 1 x y C x

+ = −

Tập xác định: { } \ 1 D = ℝ

Ta có Tâm đối xứng của đồ thị ( ) 2 C là I(1;2)

0.5

Giả sử 0 0 0 2 0

2 2 ( ; ) ( ) 1 x M x C x

+ ∈ − , với 0 1 x ≠

Ta có: ( )

( ) ( ) 0 2 2 0

4 4 ' ' 1 1 x y y x x = − ⇒ = − − −

Khi đó phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị ( ) 2 C tại 0 M có dạng :

2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0

2 2 2( 2 1) 4 4 ( ) 0 ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x x y x x x y x x x x + + − = − − + ⇔ + − = − − − −

0.5

Vậy:

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 0 0 2 2 0 0 0

2 2 0 4 2 2 0 0 0

2( 2 1) 4 8 2 ( 1) ( 1) 1 8 , 16 16 4 1 1 1 1 1 ( 1)

x x x x x d I d x x x x

+ − + − − − − = = =   + − + +   − − −  

0.5

Theo BĐT Cô-Si ta có

( ) ( )

( ) ( )

2 2 0 0 2 2 0 0

16 16 1 2 1 . 8 1 1 x x x x − + ≥ − = − − . Vậy ( ) ( ) 8 , 1 8 d I d ≤ = .

0.5

1 2

Do đó ( ) ( ) , 1 Maxd I d = khi ( ) ( )

2 0 2 0

16 1

1 x x − = −

( ) ( ) 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 3 4 1 16 1 4 1 2 1 0

x x y x x x x y

−= = =    ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒    −= − = − =   

Với 0(3;4) M , Ta có tiếp tuyên ( 1d ) là : y=-x+7.

Với 0( 1;0) M − , Ta có tiếp tuyên ( 2 d ) là : y=-x-1.

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là ( ) 1 : 7 d y x = −+ và

( ) 2 : 1 d y x = −−

0.5 0.5

2

1 Từ pt(1) tìm được xy = 4

0.5

DeThi.edu.vn