Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2015 - VÒNG 1 Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

I. Hướng dẫn chung:

1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm.

3. Điểm của bài thi theo thang điểm 20, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm. Giám khảo giữ nguyên điểm lẻ, không được làm tròn điểm.

II. Đáp án và thang điểm:

Câu ý Đáp án Điểm Có TXĐ: D=R

2 ' 3 6 3(1 ) y x x m = − + − ; '' 6 6 y x = − ; '' 0 1 y x = ⇔ = Tọa độ điểm uốn I(1;2)

0,5

Dùng phép tịnh tiến theo véc tơ OI

biến hệ trục 0xy thành hệ trục IXY ta

có công thức đổi hệ trục: 1

2

x X

y Y

= +   = +  thay vào phương trình hàm số ta có:

3 2 2 (X 1) 3(X 1) (3 3 )(X 1) 1 3 Y m m + = + − + + − + + + 3 3 (X) Y X mX f ⇔ = − =

0,5

f(X) có tập xác định R và f(-X)=-f(X) nên f(X) là hàm số lẻ suy ra đồ thị hàm số (1) nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng. 0,25

Tìm giá trị nhỏ nhất của y’: Có bảng biến thiên +∞

0,5

1 (2đ)

Từ bảng biến thiên ta thấy y’ đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3m khi x=1 hay hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là nhỏ nhất. 0,25

I (4đ)

Ta có: 2 2 ' 3 6 3(1 ) 3( 2 1 ) y x x m x x m = − + − = − + − . Đồ thị hs (1) có cực trị khi và chỉ khi pt: ' 0 y = có 2 nghiệm phân biệt tức là:

' 1 (1 ) 0 m m ∆= − − = > (2)

Ta có nhận xét: 1 '( 1) 2( 1 ) 3 y y x mx m = − + − + + (3)

Đẳng thức 3 chứng tỏ nếu 1 1 ( ; ) x y và 2 2 ( ; ) x y là các điểm cực trị của hàm

số thì 1 1

2 2

2( 1 )

2( 1 )

y mx m

y mx m

= − + +   = − + + 

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

x y’’

y'

1

+∞

0 − +

+∞ −∞

-3m

DeThi.edu.vn

2

Đồ thị hs (1) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi: a) Hoặc đồ thị không có cực trị tức là ' 0 0 m ∆≤ ⇔ ≤ 0,25

b) Hoặc đồ thị có cực đại , cực tiểu nhưng 1 2 0 y y > điều này xảy ra khi:

2 2 1 2 1 2 1 2

0 0 0 (1 )( ) (1 ) 0

m m y y m x x m m x x m

> >   ⇔   > − + + + + >   (I)

0,5

Do 1 2 , x x là 2 nghiệm của phương trình 2 2 1 0 x x m − + − = nên theo định lý

Vi-ét ta có 1 2

1 2

2

1

x x

x x m

+ =   = −  thay vào (I) ta được:

3 0 0 1 1 0

m m m

>  ⇔ < < − + > 

0,5

2 (2đ)

Vậy đồ thị hs (1) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất khi m< 1 0,25

. Đk: 2 x k π ≠

Phương trình đã cho tương đương với: ( ) 2 3 2 1 3 2 sin 2 + + − = tan cot x x x

0,5

2 2 2

2

2(sin cos ) 3 3 2 sin cos

3 2 3 0

+ ⇔ + − =

⇔ + − =

tan cot

tan tan

x x x x x x

x x 0,5

⇔

3 3 1 3 6

π   = − = − + π   ⇔  π = = + π  

tan

tan

x x k

x x k

k∈Z

0,5

1 (2đ)

KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : 6 2 π π = + x k ; k∈Z 0,5

Phương trình

2 2

2

1 2(1 sin 2 ) 1 2sin 2 2sin 2 0 2 3sin 2 2sin 2 3 0

x x x m

x x m

⇔ − + − + + =

⇔ − − − =

Đặt sin2x = t, vì 0 2 x π ≤ ≤ nên 0 1 t ≤≤ bài toán đưa về:

Tìm m để hệ:

2 ( ) 3 2 3 0 1 f t t t m t

 = − = + ≤≤  có nghiệm

Xảy ra khi: 0 1 0 1 min ( ) 3 max ( ) t t f t m f t ≤≤ ≤≤ ≤ + ≤ (1)

0,5

II (3đ)

2 (1đ) Ta có f’(t) = 6t – 2 có bảng xét dấu f’(t) 0 1

0,5

t

f’(t)

f(t)

1 3

0

O − +

1 3 −

1

DeThi.edu.vn