Đề thi chọn học sinh giỏi tham dự kì thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2015 - Vòng 1 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THAM DỰ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2015 - VÒNG 1 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI (Đề gồm: 01 trang) Câu I: (4 điểm). Cho hàm số 3 2 3 3(1 ) 1 3 y x x m x m = − + − + + (1) 1. Chứng minh điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (1) và tiếp tuyến tại đó có hệ số góc nhỏ nhất. 2. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Câu II: (3 điểm).

1. Giải phương trình: 2 3 2 sin 2 1 1 3 ( ) 2cos sin 2 tan x x x x x + + = + + ∈ℝ

2. Tìm m để phương trình: 4 4 2(sin cos ) cos4 2sin 2 0 x x x x m + + + + = có ít

nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 2

π      .

Câu III: (4 điểm).

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 5 a . Mặt

phẳng (P) là mặt phẳng chứa AB cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N và khoảng

cách giữa CD và mặt phẳng (P) bằng a.

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD).

2. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P). Tính diện tích của

thiết diện này.

Câu IV: (3 điểm). Chứng minh:

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 * 2 ... ( ) n n n n n n n C C C C C n + + + + = ∈ℕ Câu V: (3 điểm). Giải phương trình:

( 2)(2 1) 3 6 4 ( 6)(2 1) 3 2 ( ) x x x x x x x + − − + = − + − + + ∈ℝ Câu VI: (3 điểm). Cho một hình chữ nhật có chu vi là P và diện tích là S. Chứng minh rằng:

32 2 2 S P S P ≥ + + .

______________________________Hết_______________________________ Họ và tên thí sinh:…………………………………….. Số báo danh:……………

Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………....

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn