Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Cao Bằng (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2010-2011

Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI ( Đề gồm 01 trang)

Câu I (5 điểm): Cho hàm số 2 1 2 x y x

  

có đồ thị (H)

a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để khoảng cách AB ngắn nhất.

b) Tìm t để phương trình 2sin 1 sin 2 u t u

 

( ẩn là u) có nghiệm trên   0;.

Câu II (4 điểm):

a) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 (2 )(2 ) y x x x x       

b) Cho tam giác ABC có các góc A,B,C thỏa mãn 5 cos2 3 cos2 3 cos2 0 2 A B C     . Xác

định các góc A,B,C.

Câu III (3 điểm): Cho hệ phương trình

2 2 1 ( 1) 1

1

x y k x y

xy x y

      

  

( k là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi k=0

b) Tìm k để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu IV (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD. Mặt phẳng ( ) chứa MN cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại Q, P. Đặt

SQ x SB  , tìm x để

.

.

3 8

S MNPQ

S ABCD

V

V  .

Câu V (4 điểm): Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, 3 AC a  và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.

Câu VI (2 điểm):

Cho dãy số ( ) n u xác định như sau:

1

2

1

1

, 1 2010

n n n

u

u u u n 

     

. Tính 1 2

2 3 1 lim ... n

n

n

u u u u u u 



        

.

Hết Họ và tên thí sinh:.................................................................Số báo danh:.................................. Họ tên, chữ kí của giám thị 1:......................................................................................................

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CAO BẰNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12

CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010-2011

Môn: Toán

( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Câu Nội dung Điểm I (5 điểm) Cho hàm số 2 1 2 x y x

   có đồ thị (H)

a) Chứng minh rằng đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thị (H) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để khoảng cách AB ngắn nhất.

3

* Hoành độ giao điểm của (H) và đường y x m  nghiệm phương trình 2 1 2 x x m x

  

(1)

Ta có (1)

2 (4 ) 1 2 0 2 x m x m x

      

.

1

Vì

2

2

12 0

( 2) (4 )( 2) 1 2 3 0

x m

m m

         

nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt do đó

đường thẳng y x m  luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A,B.

0,5

* Vì A, B là giao điểm của (H) và đường y x m  nên hoành độ của A và B

nghiệm phương trình 2 (4 ) 1 2 0 x m x m     . Theo Viet ta có 4

. 1 2

A B

A B

x x m

x x m

      

(2)

0,5

Khoảng cách 2 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y    

2 2 2 ( ) (( ) ( )) B A B A AB x x x m x m        0,5

(2) 2 2 2( ) 2( 12) 24 2 6 B A x x m AB        .

Do vậy AB ngắn nhất bằng 2 6 khi m=0

0,5

b) Tìm t để phương trình 2sin 1 sin 2 u t u

  (*) ( ẩn là u) có nghiệm trên   0; 2

Đặt sin u x  , vì   0; u   nên   0;1 x 

Bài toán đưa về tìm t để phương trình 2 1 2 x t x

  có nghiệm   0;1 x

0,5

Xét hàm số 2 1 2 x y x

   trên   0;1

Hàm số y xác định và liên tục với   0;1 x 

  2 3 ' 0, 0;1 ( 2) y x x     . Suy ra

  0;1

1 min (0) 2 x y y    ,

  0;1 max (1) 1 x y y   

1

Do đó phương trình (*) có nghiệm 1 1 2 t  . 0,5

II a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

DeThi.edu.vn