Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 3( 1) 3 ( 2) 2 f x x m x m m x m (1) (m là tham

số). Tìm m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại tới trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu tới trục tung. Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình 2 sin2 cos2 3 2 sin 2 1 sin cos

x x x

x x

.

2. Giải hệ phương trình

2 2

2 2 2

2

2015 1 1 1

18 25 9 9 4 2

1

x y x x y y

y x x x

y

Câu 3. (5,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có góc A nhọn, điểm 4;2 I

là trung điểm đoạn , BC điểm A nằm trên đường thẳng : 2 1 0. d x y Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam giác , ABD ACE vuông cân tại . A Biết phương trình đường thẳng

: 3 18 0 DE x y và 2 5 BD điểm D có tung độ nhỏ hơn 7 . Xác định tọa độ các điểm , , . A B C

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm (1;1; 1), (1;1;2), ( 1;2; 2) A B C

và mặt phẳng P : 2 2 1 0 x y z . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A, vuông góc

với mặt phẳng P , cắt đường thẳng BC tại I sao cho 2 IB IC .

Câu 4. (2,0 điểm) Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' ' ABCDA B C D có 1, 2, ' 3 AB BC AA .

Mặt phẳng P thay đổi và luôn đi qua ' C , mặt phẳng P cắt các cạnh , , ' AB AD AA lần lượt

tại , , E F G (khác A). Chứng minh rằng 1 2 3 AE AF AG không đổi. Từ đó, xác định vị trí của

mặt phẳng P để thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.

Câu 5. (3,5 điểm)

1. Tính tích phân

3 2

1

1 ln 2015 1

. 2015 ln

e x x x I dx x x

2. Tìm số nguyên dương lẻ n thỏa mãn

2 0 3 1 4 2 2 2 2 2 2 2 ... . 1.2 2.3 3.4 2017 1 2

n n n n n n C C C C

n n

Câu 6. (1,5 điểm)

Cho , , , a b x y là các số thực thỏa mãn 0 4;0 4; 7;2 3 a b a b x y . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 2 2 2 x y x y P

xy a b

.

-----------------Hết----------------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Toán – Lớp 12 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 02 tháng 4 năm 2015

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: Toán – Lớp 12

Câu Lời giải sơ lược Điểm 1 3,0 2 ' 3 6 1 3 ( 2) y x m x m m ; ' 0 y x m hoặc 2 x m

Hàm số có cực trị với mọi m. 0,5

Hai điểm cực trị là: 3 2 ; 3 2 A m m m m , 3 2 2; 3 6 B m m m m 0,5

Chỉ ra A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu. (Xét dấu ' y hoặc dùng BBT) 0,5

Ta có 3 2 ; 3 2 d AOx m m m , ; 2 d B Oy m 0,5

Theo giả thiết ta có:

3 2 3 2

3 2 3 4 0 3 2 2 3 2 0

m m m m m m m m m 0,5

2 1 1

0

m m m

m

0,5

2.1 2,5 ĐK: sin cos 0. x x 0,5

Phương trình tương đương: sin2 cos2 3 2 sin 2 1 sin2 x x x x 0,5

2 2sin 3 2 sin 2 0 x x

sin 2( ) 1 sin

2

x loai

x

0,5

2 4 5 2 4

x k

k x k

 

 

Từ đó tìm được nghiệm 5 2 4 x k k  

1,0

2.2 2,5 2 2

2 2 2

2

2015 1 1 1 1

18 25 9 9 4 2 2 1

x y x x y y

y x x x

y

Điều kiện: 2 . 3 x

2 2

2 2

1 2015 1 2015 1

ln2015 ln 1 ln2015 ln 1

x y x x y y

x x x y y y

1,0

DeThi.edu.vn